题解：BZOJ 1009 HNOI2008 GT考试 KMP + 矩阵

原题描述：

阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数 X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai& lt;=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为0

分析：

吐槽：这道题的细节问题差点坑死我。

一开始这道题想了个DP，但是状态转移太恶心。

那我们换一个思路，先用KMP构造出A的一个自动机。

然后这道题就转化成了在自动机上跑啊跑，跑N条边都没跑到终态（Am）的路径数。

这样，我们就把这道题转化成了一个经典问题：在一个有向图上，从s到t，经过N条边的路径数。

矩阵快速幂即可解决。

不会做的个经典问题的话，请看下面的讲解：

/*

这个问题我们可以用DP解决，方程为：

DP[i][j][k] = DP[i][p][k - 1] * DP[p][j][k - 1];

然后，显然，我们可以利用滚动数组。

DP[i][j] = DP[i][p] * DP[p][j];

然后，然后，你发现了什么？

这不是矩阵乘法么！

*/

具体实现过程：

1. 求得A的Next数组。

2. 根据转移图构造矩阵M：i能转移到j则，M[i][j] ++;

（由于Am是终态，所以可以不向Am连边，常数优化）

3. C = M ^ n;

4. 答案为for(int I = 0;I < m;I ++) ans +=C[0][i];

ACCode：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

int N,M,K;

const int maxm = 30;

struct Matrix
{
    int a[maxm][maxm],n;
    Matrix(int n,int x) : n(n)
    {
        for(int i = 0;i < n;i ++)   for(int j = 0;j < n;j ++)   a[i][j] = i == j ? x : 0;
    }
    Matrix operator * (const Matrix &b)
    {
        Matrix c(n,0);
        for(int i = 0;i < n;i ++)
        for(int j = 0;j < n;j ++)
        for(int k = 0;k < n;k ++)
            (c.a[i][j] += ((a[i][k] * b.a[k][j]) % K)) %= K;
        return c;
    }
};

Matrix pow_mod(Matrix &a,int b)
{
    Matrix c(a.n,1);
    for(; b ;b >>= 1)
    {
        if(b & 1)   c = c * a;
        a = a * a;
    }
    return c;
}
int A[maxm],f[maxm];
Matrix m(maxm,0);

void getNext()
{
    for(int i = 1;i < M;i ++)
    {
        int j = f[i];
        while(j && A[i] != A[j])    j = f[j];
        f[i + 1] = A[i] == A[j] ? j + 1 : 0;
    }
}

char str[maxm];

int main()
{
    scanf("%d%d%d\n%s",&N,&M,&K,str);
    for(int i = 0;i < M;i ++)  A[i] = str[i] - ‘0‘;
    getNext();
    m.n = M;
    for(int i = 0;i < M;i ++)
    for(int j = 0;j < 10;j ++)
    {
        int k = i;
        if(A[i] == j)   m.a[i][i + 1] ++;
        else
        {
            while(k && A[k] != j)   k = f[k];
            if(A[k] == j)   k ++;
            m.a[i][k] ++;
        }
    }
    Matrix c = pow_mod(m,N);
    int ans = 0;
    for(int i = 0;i < M;i ++)  (ans += c.a[0][i]) %= K;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

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