个人相关
总结.
OI历程.
题目
基础题.
综合题.
原创题.
考点
注意是考点不是知识点, 知识点才没有这么散乱呢QAQ.
线性代数.
行列式求值.
Matrix-tree定理.
Lindstrom-Gessel-Viennot引理.
高斯消元.
线性基.
特征值.
矩阵乘法.
数论.
## **一、参考资料**<https://blog.sengxian.com/algorithms/networkflow-variants><http://www.matrix67.com/blog/archives/116><http://dsqiu.iteye.com/blog/1689505>
## **二、匹配，边覆盖，独立集，点覆盖之间的三组关系及原理**### **（一）最大匹配与最小边覆盖**  对于任意连通图，有： $$|M_\max|+|F_\min|=|V|$$   用中文描述就是： $最大匹配数+最小边覆盖数=顶点数$
**证明：**  若在边覆盖集中新增一条边，则有三种情况：① 当边的两端都被覆盖时，多覆盖了 $0$ 个点② 当边一端覆盖一端未覆盖时，多覆盖了 $1$ 个点③ 当边的两端都未被覆盖时，多覆盖了 $2$ 个点
  由于我们要用最小的边，覆盖所有的 $n$ 个点，所以每次覆盖的边肯定越多越好。  能覆盖 $2$ 个点的边就是最大匹配，接下来，对于每个没有被覆盖的点，找到一条它与被覆盖的点的连边，把这条边连起来就好了。
  所以 $|F_\min|=(|V|-2*|M_\max|)+|M_\max|$   所以 $|M_\max|+|F_\max|=|V|$
### **（二）最大独立集与最小点覆盖的关系**  对于任意图，有：$$S_\max\cup S_\min=V$$  数量化之后，有$$|S_\max|+|S_\min|=|V|$$  用中文描述就是：在点集 $V$ 中，最大独立集 $S_\max$ 与最小点覆盖 $S_\min$ 互补
**证明：**  对于一个独立集 $P$ ，设它在 $V$ 中的补集为 $Q$ 。  根据独立集的定义， $P$ 中的节点两两不相邻，所以与 $P$ 中节点相连的边对应的节点一定在补集 $Q$ 中。而还有一种类型的边，就是两个点都在补集 $Q$ 中。  所以，对于每条边，它一定至少有一个端点在补集 $Q$ 中，即 $Q$ 是一个点覆盖集。  所以对于任意一个独立集，**有且仅有**一个点覆盖集与其互补。  所以当且仅当独立集为最大独立集时，最大独立集的补集为最小点覆盖。
### **（三）二分图中最大匹配与最小点覆盖的关系（K?nig定理）****K?nig定理：**在二分图中，有$$|M_\max|=|S_\min|$$用中文描述就是，最大匹配数=最小点覆盖数
**证明：**  首先提出构造方法。  进行二分图最大匹配，对于右端所有没被匹配的点，找增广路，将点进行标记。  最小点覆盖为左端所有被标记的点，和右端所有未被标记的点。
  **为什么点的个数等于最大匹配数？**这是因为，在我们选取的点集中，每个点都在一个匹配上，且每个匹配上只有一个点集上的点。即：最大匹配上的每一条边有且仅有一个点集中的点。
  **为什么点集为点覆盖集？**即证明：不存在一条边，左边的点为被标记，右边的点被标记。  假设存在一条边，左边的点为被标记，右边的点被标记，分类讨论：当这条边是匹配边时，必然是从左走到右，既然左边没有被标记，那么右边也不能被标记；当这条边未被匹配时，必然是从右走到左，既然右边被标记了，那么就可以走到左边啊。所以不存在。
  **为什么点覆盖集最小？**  这是因为，我们既然有了最大匹配的边数$M$，则至少有$2M$个点，所以至少要用$M$个点来覆盖。所以取到了下限。
  综上，有 $|F_\max|=|S_\min|$
## **三、二分图最大匹配****【构造方法】【计数方法】**Hungary算法```c++#define rep(i,a,b) for (int i=(a);i<=(b);i++)
int mp[N][N];int used[N],att[N];int res;
int Hungary(int x) {rep(nx,1,n)if (!used[nx]&&mp[x][nx]) {used[nx]=1;if (!att[nx]||Hungary(att[nx])) {att[nx]=x;return 1;}}return 0;}
void Match(void) {rep(i,1,n) {memset(used,0,sizeof used);Hungary(i);}res=0;rep(i,1,n)res+=(att[i]>0);printf("%d\n",res);}```
## **四、二分图最小边覆盖****【计数方法】** $|F_\min|=|V|-|M_\max|$ ，只需要求二分图最大匹配即可；**【构造方法】**① 求二分图最大匹配，最大匹配的边全部都要取② 然后对于没有被匹配的点，选取一条它与被匹配的点相连的边
## **五、二分图最小点覆盖****【计数方法】** $|S_\min|=|M_\max|$**【构造方法】**① 二分图最大匹配② 对于右边所有没有被匹配的点，尝试找增广路，把遍历的点进行标记③ 点覆盖集为：左边被标记的点+右边未被标记的点
## **六、二分图最大独立集****【计数方法】** $|S_\max|=|V|-|S_\min|=|V|-|M_\max|$**【构造方法】**求出最小点覆盖，取补集。
## **七、二分图最大团****【计数方法】** $最大团的大小=补图的最大独立集$**【构造方法】** 补图的最大独立集
## **八、最小路径覆盖问题****【定义】**在图 $G$ 中，用最少的路径覆盖所有的点为了方便表示，记最小路径覆盖数为 $T_\min$
**【建模】**在图 $G$ 中，将每个点 $i$ 拆成两个点 $x_i,y_i$ ，构成二分图，若 $(u,v)\in E$ ，则把 $x_u$ 向 $y_v$ 连接一条边。若要求路径不交叉，则直接连接；若路径可以交叉，则应该先用Floyd求解传递闭包。**【计数方法】** $$|T_\min|=|V|-|M_\max|$$ **【构造方法】**  进行二分图最大匹配，若 $x_u$ 向 $y_v$ 连接了一条边，说明有 $u->v$ 的路径。