数学-线性代数-#1 表示及解方程组的新视角

线性代数-#1 表示及解方程组的新视角

学习线性代数之前，我们解n元一次方程组的方法（消元法）着眼于行，把每一行当成一个独立的整体进行处理，最后将各行联系起来求解。

而线性代数为我们提供了一个新视角：着眼于列。

以二元一次方程组为例，即把方程组表示为系数x乘以未知数x的系数组成的列向量v1与系数y乘以未知数y的系数组成的列向量v2通过平行四边形/三角形法则相加后得到方程组每一行的常数项所组成的列向量v3。

在这个视角下，我们可以发现：

1.代数学中的方程组可以通过向量的画法表示为几何学中的列图像。向量为代数学和几何学建立了一座桥梁，使几何学的相关结论可以运用到对方程组和解的分析中；

2.解方程组可以理解为找使得列向量v1和列向量v2的线性组合等于列向量v3的系数x和y。而具体怎么找，我们将引入消元法这一系统求解方法；

3.n元一次方程组是否有解的问题等价于n个列向量的所有线性组合是否能够覆盖整个n维空间，也就是这些列向量是否全部共面。

为了给列视角下的方程组找到一种比“x*v1+y*v2=v3”的线性组合表示法更简单的表示方法，我们规定了一种形如“Ax=b”的表示方法，名为矩阵。

其中b就是v3，而A为v1和v2的组合，x为x和y的组合，Ax等价于x*v1+y*v2。

在矩阵表示法中，我们可以发现：

求方程组的解，也就是求x。而x=b/A，也就是b乘以A的“倒数”，也就是b乘以A的逆矩阵。这为我们引出了一种求解方程组的全新思路，将在之后的学习中介绍。

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