树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T))
是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只
能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。-------摘自百度百科
对于树状数组这种数据结构，关键词一是树状，另一个则是数组。
请看下图：
我们令每个叶节点代表每一个元素。
现在我们变形一下，顺便加上数组的编号：
a数组是原数据。
b数组的节点，代表其所有子节点之和。
b[1] = a[1]
b[2] = a[1] + a[2]
b[3] = a[3]
b[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4]
b[5] = a[5]
b[6] = a[5] + a[6]
b[7] = a[7]
b[8] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8]
这时，我们再把b数组转化成二进制编码：
可以发现：
1=(001) b[1] = a[1]
2=(010) b[2] = a[1] + a[2]
3=(011) b[3] = a[3]
4=(100) b[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4]
5=(101) b[5] = a[5]
6=(110) b[6] = a[5] + a[6]
7=(111) b[7] = a[7]
8=(1000) b[8] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8]
对照式子可以发现 b[i] = a[i-2^k+1] + a[i-2^k+2] + ......a[i]（k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）例如i=8时，k=3，i=7时，k=0，i=2时，k=1。
由此我们引出了lowbit函数：
lowbit(i) = 2^k
b[i] = a[i-lowbit(i)+1] + a[i-lowbit(i)+2] + ......a[i]
1 int lowbit(int x)
2 {
3 return x&(-x);
4 }
其实......很短......背吧......
接着是修改函数：
1 void add(int k, int num)
2 {
3 while(k<=n)
4 {
5 BIT[k]+=num;
6 k += lowbit(k);
7 }
8 }
BIT就是b数组
在位置k上加上num，我们用lowbit枚举出与k有关的位置，依次加上num。
举个栗子：
比如我们要修改1位置的值。与之有关的是b[1] b[2] b[4] b[8]。
第一次 k = 1，BIT[1] += num后，lowbit(1) = 1，k+=1;
第二次 k = 2，BIT[2] += num后，lowbit(2) = 2，k+=2;
第三次 k = 4，BIT[4] += num后，lowbit(4) = 4，k+=4;
第四次 k = 8，BIT[8] += num后，lowbit(8) = 8;
another：
修改3位置的值。与之有关的是b[3] b[4] b[8]。
第一次 k = 3，BIT[3] += num后，lowbit(3) = 1，k+=1;
第二次 k = 4，BIT[4] += num后，lowbit(4) = 4，k+=4;
第三次 k = 8，BIT[8] +=num后， lowbit(8) = 8;
最后是查询操作：
在这里，我们反着来做
1 int query(int k)
2 {
3 int sum = 0;
4 while(k>0)
5 {
6 sum+=BIT[k];
7 k-=lowbit(k);
8 }
9 return sum;
10 }
跟修改的原理是一样的，不过是反着做，比如查询7位置之前所有的和，就是BIT[7] + BIT[6] + BIT[4]。
这里你会想，我们的查询函数是查询从 1——k 的值的和，要是查询一个区间 l——r（包含 l 和 r 的值） 的话怎么办？
我们利用前缀和的思想，查询 l——r 就等于query(r) - query(l-1)。
所以，luogu P3374 树状数组的模板1，就解决啦~
https://www.luogu.org/problemnew/show/P3374
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 using namespace std;
5 int n,m;
6 int BIT[500070],a[500070];
7 int lowbit(int x)
8 {
9 return x&-x;
10 }
11 void add(int k, int num)
12 {
13 while(k<=n)
14 {
15 BIT[k]+=num;
16 k += lowbit(k);
17 }
18 }
19 int query(int k)
20 {
21 int sum = 0;
22 while(k>0)
23 {
24 sum+=BIT[k];
25 k-=lowbit(k);
26 }
27 return sum;
28 }
29 int main()
30 {
31 scanf("%d%d",&n,&m);
32 for(int i=1;i<=n;i++)
33 {
34 scanf("%d",&a[i]);
35 add(i,a[i]);//初始化元素，当然是每个位置i加上a[i]啦
36 }
37
38 for(int i=1;i<=m;i++)
39 {
40 int c;
41 scanf("%d",&c);
42 if(c == 1)
43 {
44 int k,num;
45 scanf("%d%d",&k,&num);
46 add(k,num);
47 }
48 else
49 if(c == 2)
50 {
51 int l,r;
52 scanf("%d%d",&l,&r);
53 printf("%d\n",query(r)-query(l-1));
54 }
55 }
56 return 0;
57 }
原文地址：https://www.cnblogs.com/MisakaAzusa/p/8666551.html