HDU4010 Query on The Trees(LCT)

人生的第一道动态树，为了弄懂它的大致原理，需要具备一些前置技能，如Splay树，树链剖分的一些概念。在这里写下一些看各种论文时候的心得，下面的代码是拷贝的CLJ的模板，别人写的模板比较可靠也方便自己学习理解，然后一些概念的则是学习了一些论文，下面的内容可以看作对别人模板的理解心得，以及对论文的收获体会。

LCT支持的主要是一种树路径上的操作，譬如说对u和v之间的路径上询问点权的和，询问点权的最大值，对所有点权加一个数，置为一个树等等。它和树链剖分不同的是，它支持将这个树上的边切掉，也支持将两个树通过连一条边合并。 树链剖分则不支持切边和删边的操作。

树链剖分的方法主要是这样的，对于一棵树，我们先dfs一次求出每个点的重儿子（即儿子里拥有最多点的那个），然后标记这些边为重边（其余为轻边），然后第二次dfs的时候将重边编号，实现了连续的重边具有连续的编号的效果。根据一定的推导可以证明从任意一点到根的路径上的轻边和重边是O(logn)级别的，因此修改路径的时候就可以用线段树去维护边，由于每条边都要维护，每条边更新的代价都是logn，所以单次操作复杂度是log^2n.

LCT具有相同的思想，但由于是动态的，因此就需要更加灵活一点的数据结构，那就是动态树了。重边和轻边的概念也在这里得到一定的应用或者拓展，下面的图截自《SPOJ375 QTREE 解法的一些研究 》

对这幅图的理解我觉得是至关重要的。在LCT里定义了这么一种操作叫做ACCESS,也可以叫做expose，在执行了access(N)之后我们就可以发现，从N到根的路径上的所有边都变成了重边，而且由于每个父亲只有一个重儿子，也只有一条重边，所以原本的重边会变成轻边。

在Splay里维护的是一条条的重链（只有一个点的也是一棵树），每条重链就是一棵Splay树。例如左一、二图里维护的就是下面的一系列Splay树

左一：A-B-E;C-G-H-J;I-K;L-N-O;D;F;M

左二：A-C-G-H-I-L-N;B-E;D;F;J;K;M;O

然后在每一棵Splay树里，左子树的点在当前点的上方，右子树的点在当前点的下方。图三就是对此的一个描述，看C-G-H-J这一条重链，G的左子树有C,说明C在G的上方，同理H,J在G的下方，跟左一图是对应的。

此外重链之间的关系也是要维护的，所以没有加粗的细边起的就是这个作用，反应在Splay树的实现上，就是每个Node里面要多加一个fa，表示的是这条重链的父边在哪里。

接下来就是理解expose的操作了，expose(v)要将v到根上的所有点打到同一条重链上（同一棵Splay树上）具体操作可以看一下上面那篇论文里的伪码，还可以参考一下下面这篇论文里的伪码 《动态序列与动态树问题——浅谈几种常用数据》

然后就是几个典型的操作的问题了，下面就是几个典型操作的主要内容：

（1）寻根：findRoot(u):expose(u),splay(u),while(u->ch[0]!=null) {u=u->ch[0]} splay(u)

其实就是将u到根的路径expose出来，然后splay到根，因为左子树的点一定在最上方，所以就不停地走左子树直到没得走，然后由于是splay树，所以每次操作完也得再splay一次到根

（2）换根:makeRoot(u):expose(u),splay(u),u->revIt();

其实就是将u到根的路径expose出来，然后将u spaly到根，由于expose完u之后u下方必然没有点，可以肯定的是splay(u)之后 u->ch[1]是空的，这个时候再翻转一下就可以将u转到根了，所以Node节点里一定有一个rev标记。

其余的加边，删边，询问，修改也是大同小异的，无非就是将路径expose出来，然后适当的splay一下，进行相应的修改。

代码的实现上和splay差不多，但是要特别注意几个点，一是Node节点类里面新增了一些属性，如isRoot表示是否为根，fa表示轻边的父亲。在旋转的时候要相应的维护好根的情况,在有lazy标记的时候，还要多写一个pushTo的函数将点到根上的所有的标记下传。

代码太长了，实现细节太多了，不对着别人的模板写完全就写不下来嘛，实在是太恐怖了。

#pragma warning(disable:4996)
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;

#define ll long long
#define maxn 350000
#define INF 0x3f3f3f3f

struct Node
{
	Node *p, *ch[2];
	bool rev;
	ll sum, val;
	ll mx;
	ll add;
	int size;
	bool isRoot;
	Node *fa;
	Node(){
		sum = 0; val = 0;
		rev = 0; mx = -INF;
		add = 0;
		size = 0;
	}
	void setc(Node *c, int d){
		ch[d] = c;
		c->p = this;
	}
	bool d(){
		return p->ch[1] == this;
	}
	void upd(){
		sum = ch[0]->sum + ch[1]->sum + val;
		size = ch[0]->size + ch[1]->size + 1;
		mx = max(max(ch[0]->mx, ch[1]->mx), val);
	}
	void revIt(){
		rev ^= 1;
	}
	void addIt(int vx){
		add += vx;
		sum += vx*size;
		val += vx;
		mx += vx;
	}
	void relax();
	void setRoot(Node *f);
}Tnull, *null = &Tnull;

void Node::setRoot(Node *f){
	fa = f;
	isRoot = true;
	p = null;
}

void Node::relax(){
	if (add != 0){
		for (int i = 0; i < 2; i++){
			if (ch[i] != null) ch[i]->addIt(add);
		}
		add = 0;
	}
	if (rev){
		swap(ch[0], ch[1]);
		for (int i = 0; i < 2; i++){
			if (ch[i] != null) ch[i]->revIt();
		}
		rev = 0;
	}
}

Node mem[maxn], *C = mem;

Node *make(int v){
	C->sum = C->val = v;
	C->rev = 0; C->add = 0;
	C->mx = v;
	C->ch[0] = C->ch[1] = null; C->isRoot = true;
	C->p = null;
	C->fa = null;
	return C++;
}

void rot(Node *t){
	Node *p = t->p;
	p->relax();
	t->relax();
	bool d = t->d();
	p->p->setc(t, p->d());
	p->setc(t->ch[!d], d);
	t->setc(p, !d);
	p->upd();
	if (p->isRoot){
		p->isRoot = false;
		t->isRoot = true;
		t->fa = p->fa;
	}
}

void pushTo(Node*t) {
	static Node*stk[maxn]; int top = 0;
	while (t != null) {
		stk[top++] = t;
		t = t->p;
	}
	for (int i = top - 1; i >= 0; --i) stk[i]->relax();
}

void splay(Node*u, Node*f = null) {
	pushTo(u);
	while (u->p != f) {
		if (u->p->p == f)
			rot(u);
		else
			u->d() == u->p->d() ? (rot(u->p), rot(u)) : (rot(u), rot(u));
	}
	u->upd();
}

Node *v[maxn];
vector<int> E[maxn];
int n, nQ;

int que[maxn], fa[maxn], qh = 0, qt = 0;
int wht[maxn];

void bfs()
{
	qh = qt = 0;
	que[qt++] = 1;
	fa[1] = -1;
	while (qh < qt){
		int u = que[qh++];
		for (int i = 0; i < E[u].size(); i++){
			int e = E[u][i];
			if (e != fa[u]){
				fa[e] = u;
				v[e]->fa = v[u];
				que[qt++] = e;
			}
		}
	}
}

Node *expose(Node *u)
{
	Node *v;
	for (v = null; u != null; v = u, u = u->fa){
		splay(u);
		u->ch[1]->setRoot(u);
		u->setc(v, 1);
		v->fa = u;
	}
	return v;
}

void makeRoot(Node *u)
{
	expose(u);
	splay(u);
	u->revIt();
}

void addEdge(Node *u, Node *v)
{
	makeRoot(v);
	v->fa = u;
}

void delEdge(Node *u, Node *v)
{
	makeRoot(u);
	expose(v); splay(u); u->setc(null, 1); u->upd();
	v->setRoot(null);
}

void addPath(Node *u, Node *v,int ax)
{
	makeRoot(u);
	expose(v);
	splay(v);
	v->addIt(ax);
}

ll sumPath(Node *u, Node *v)
{
	makeRoot(u);
	expose(v);
	splay(v);
	return v->sum;
}

ll maxPath(Node *u, Node *v)
{
	makeRoot(u);
	expose(v);
	splay(v);
	return v->mx;
}

Node *find_root(Node *u)
{
	expose(u); splay(u);
	while (u->ch[0] != null){
		u = u->ch[0];
	}
	splay(u); return u;
}

int main()
{
	while (cin >> n)
	{
		for (int i = 0; i <= n; i++) E[i].clear();
		int ui, vi;
		for (int i = 0; i < n - 1; i++){
			scanf("%d%d", &ui, &vi);
			E[ui].push_back(vi); E[vi].push_back(ui);
		}
		for (int i = 1; i <= n; i++){
			scanf("%d", wht + i);
			v[i] = make(wht[i]);
		}
		bfs();
		cin >> nQ;
		int oper, wi, xi, yi;
		Node *nx, *ny;
		while (nQ--){
			scanf("%d", &oper);
			if (oper == 3) scanf("%d%d%d", &wi, &xi, &yi);
			else scanf("%d%d", &xi, &yi);
			nx = v[xi]; ny = v[yi];
			if (oper == 1){
				if (find_root(nx) == find_root(ny)) puts("-1");
				else{
					addEdge(nx, ny);
				}
			}
			else if (oper == 2){
				if (find_root(nx) != find_root(ny) || xi == yi) puts("-1");
				else{
					makeRoot(nx);
					expose(ny);
					splay(ny);
					Node *tmp = ny->ch[0];
					ny->ch[0] = null; ny->upd();
					tmp->setRoot(null);
				}
			}
			else if (oper == 3){
				if (find_root(nx) != find_root(ny)) puts("-1");
				else{
					addPath(nx, ny, wi);
				}
			}
			else{
				if (find_root(nx) != find_root(ny)) puts("-1");
				else printf("%d\n", maxPath(nx, ny));
			}
		}
		puts("");
	}
	return 0;
}

HDU4010 Query on The Trees(LCT)