证明极限等于0的一类题

证明：$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0\qquad a>0$$

证：

方法一：构造级数$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!},$$再用比阶法证明级数收敛就可以了，此处不写详细过程.

方法二：设有数列{${{a_n}}$},且$a_n=\frac{a^n}{n!}$

所以$$a_{n+1}=\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{a}{n+1}a_n$$

显然,当$n$足够大时$\frac{a}{n+1}\rightarrow 0$

所以此时数列单调递减，而$a_n$明显$>0$，所以数列{${{a_n}}$}极限存在，假设为$a$

则  $$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a}{n+1}a_n$$

所以$$a=0\times a \Rightarrow a=0$$

证毕.