G - 取石子游戏
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Format:%I64d & %I64u
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2516
Description
1堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完者胜.先取者负输出"Second win".先取者胜输出"First win".
Input
输入有多组.每组第1行是2<=n<2^31. n=0退出.
Output
先取者负输出"Second win". 先取者胜输出"First win".
参看Sample Output.
Sample Input
2 13 10000 0
Sample Output
Second win Second win First win
、
又是取石子游戏，不过这次的和之前的可不一样了。好像是FIB博弈（感觉数学的的定理公式怎么就这么多呢。。。。无奈）
转载于：http://yjq24.blogbus.com/logs/46150651.html
有一堆个数为n的石子，游戏双方轮流取石子，满足：
1)先手不能在第一次把所有的石子取完；
2)之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。
约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。
这个和之前的Wythoff’s Game 和取石子游戏 有一个很大的不同点，就是游戏规则的动态化。之前的规则中，每次可以取的石子的策略集合是基本固定的，但是这次有规则2：一方每次可以取的石子数依赖于对手刚才取的石子数。
这个游戏叫做Fibonacci Nim，肯定和Fibonacci数列：f[n]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… 有密切的关系。如果试验一番之后，可以猜测：先手胜当且仅当n不是Fibonacci数。换句话说，必败态构成Fibonacci数列。
就像“Wythoff博弈”需要“Beatty定理”来帮忙一样，这里需要借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。定理的证明可以在 这里 看到，不过我觉得更重要的是自己动手分解一下。
比如，我们要分解83，注意到83被夹在55和89之间，于是把83可以写成83=55+28；然后再想办法分解28，28被夹在21和34之间，于是28=21+7；依此类推 7=5+2，故
；
如果n=83，我们看看这个分解有什么指导意义：假如先手取2颗，那么后手无法取5颗或更多，而5是一个Fibonacci数，如果猜测正确的话，（面临这5颗的先手实际上是整个游戏的后手）那么一定是先手取走这5颗石子中的最后一颗，而这个我们可以通过第二类归纳法来绕过，同样的道理，接下去先手取走接下来的后21颗中的最后一颗，再取走后55颗中的最后一颗，那么先手赢。
反过来如果n是Fibonacci数，比如n=89：记先手一开始所取的石子数为y，若y>=34颗（也就是89的向前两项），那么一定后手赢，因为89-34=55=34+21<2*34，所以只需要考虑先手第一次取得石子数y<34的情况即可，所以现在剩下的石子数x介于55到89之间，它一定不是一个Fibonacci数，于是我们把x分解成Fibonacci数：x=55+f[i]+…+f[j]，若，如果f[j]<=2y，那么对B就是面临x局面的先手，所以根据之前的分析，B只要先取f[j]个即可，以后再按之前的分析就可保证必胜。
下证：f[j]<=2y
反证法：假设f[j]>2y，则 y < f[j]/2 = (f[j-1] + f[j-2])/2 < f[j-1]
而最初的石子数是个斐波那契数，即 f[k]=x+y < f[k-1]+f[i]+…+f[j]+f[j-1] <= f[k-1]+f[i]+f[i-1] <= f[k-1]+f[k-2] <= f[k] （注意第一个不等号是严格的，矛盾！）
ps：这个博弈还是第一次见，不过我觉得做博弈，重要的是能根据已知情况，猜测出未知的情况，这就是规律！
转载请注明出处：寻找&星空の孩子
//FIB博弈，找规律
//定理证明：http://yjq24.blogbus.com/logs/46150651.html
#include<stdio.h>
#define LL long long
#define MM 0x7FFFFFFF
LL len,Fib[100000];
void init()
{
len=3;
Fib[1]=1;
Fib[2]=2;
for(;;len++)
{
Fib[len]=Fib[len-1]+Fib[len-2];
if(Fib[len]>(1LL<<31)) break;
}
}
int main()
{
init();
LL n;
// printf("len=%lld,%lld\n",len,Fib[46]);
while(scanf("%lld",&n),n)
{
if(n==3||n==2) { printf("Second win\n");continue;}
LL t=3;
bool bo=true;
while(t<=len)
{
if(n==Fib[t]){bo=false;printf("Second win\n");break;}
if(Fib[t]>n) break;
t++;
}
if(bo) printf("First win\n");
}
return 0;
}
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