HDU1695:GCD（容斥原理+欧拉函数+质因数分解）好题

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1695

题目解析：

Given 5 integers: a, b, c, d, k, you‘re to find x in a...b, y in c...d that GCD(x, y) = k.

题目又说a==c==1,所以就是求[1,b]与[1,d]中gcd等于k的个数，因为若gcd(x,y)==z,那么gcd(x/z,y/z)==1，又因为不是z的倍数的肯定不是，所以不是z的倍数的可以直接去掉，所以只要将b和d除以k，然后就转化成了求两个范围中互质的对数了。即求[1,b/k],与[1,d/k]中互质的数目，让b<d,又因为 (x=5, y=7) and (x=7, y=5) are considered to be the same.

所以先求[1,b/k]中互质的数目，即phi[1]+phi[2]+phi[3].....+phi[b/k]（其中phi[i]为i的欧拉函数值），再从区间[b/k+1,d/k]枚举与区间[1,b/k]中互质的数目。其中求与区间[1,b/k]中互质的数目可以通过容斥原理求得与区间[1,b/k]中不互质的数目，相减便可以求得结果。这题折腾了一中午，一直TLE，代码在后面贴了，之后看大神的博客知道了哪里超时的原因，每个数的质因子可以在打表求欧拉函数的时候顺便求出来，一种哈希的思想，这样就不用在枚举的时候每一个数在求一遍他的质因子了，好题！

代码如下：（608ms）

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef __int64 ll;
ll sum,phi[100010];
int cnt[100010][11],f[100010],a,b,c,d,x;
void init()
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int i=1; i<=100000; i++)
    {
        phi[i]=0;
        f[i]=0;
    }
    phi[1]=1;
    for(int i=2; i<=100000; i++)
    {
        if(!phi[i])
        {
            for(ll  j=i; j<=100000; j+=i)
            {
                if(!phi[j]) phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
                cnt[j][f[j]++]=i;//算是哈希吧,很精辟啊，这种写法要学习
            }
        }
        phi[i]+=phi[i-1];
    }
}
ll gcd(ll A,ll B)
{
    return B==0?A:gcd(B,A%B);
}
void dfs(ll now,ll num,ll lcm,ll &coun,int key)
{
    lcm=cnt[key][now]/gcd(cnt[key][now],lcm)*lcm;
    if(num&1)
    {
        coun+=b/lcm;
    }
    else
    {
        coun-=b/lcm;
    }
    for(ll i=now+1; i<f[key]; i++)
        dfs(i,num+1,lcm,coun,key);
}
int main()
{
    int T,K=0;
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&x);
        if(x == 0 || x > b || x > d)
        {
            printf("Case %d: 0\n",++K);
            continue;
        }
        b/=x;
        d/=x;
        sum=0;
        if(b>d) swap(b,d);
        sum+=phi[b];
        for(int i=b+1; i<=d; i++)
        {
            ll coun=0;
            for(int j=0; j<f[i]; j++)
            {
                dfs(j,1,cnt[i][j],coun,i);
            }
            sum+=(b-coun);
        }
        printf("Case %d: %I64d\n",++K,sum);
    }
    return 0;
}

TLE的：（TLE了一中午 3000ms++)

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef __int64 ll;
ll a,b,c,d,x,sum,top,cnt[100010],we;//********
int phi[100010],su[100010],prime[100010];
void init()
{
    we=0;
    prime[we++]=2;
    su[0]=su[1]=0;
    su[2]=1;
    for(int i=3; i<100005; i++)
        if(i%2==0) su[i]=0;
        else su[i]=1;
    double t=sqrt(100005*1.0);
    for(ll i=3; i<=t; i++)
    {
        if(su[i])
        {
            for(ll j=i*i; j<100005; j=j+i)
            {
                su[j]=0;
            }
        }
    }
    for(ll i=3; i<=100003; i++)
    {
        if(su[i]) prime[we++]=i;
    }
    memset(phi,0,sizeof(phi));
    phi[1]=1;
    for(ll i=2; i<=100003; i++)
    {
        if(!phi[i])
        {
            for(ll  j=i; j<=100003; j+=i)
            {
                if(!phi[j]) phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}
ll gcd(ll A,ll B)
{
    return B==0?A:gcd(B,A%B);
}
void dfs(ll now,ll num,ll lcm,ll &coun)
{
    lcm=cnt[now]/gcd(cnt[now],lcm)*lcm;
    if(num&1)
    {
        coun+=b/lcm;
        //printf("hsum======%I64d\n",sum);
    }
    else
    {
        coun-=b/lcm;
    }
    for(ll i=now+1; i<top; i++)
        dfs(i,num+1,lcm,coun);
}
void cal(ll key,ll &coun)
{
    top=0;
    ll KK=0;
    for(ll i=prime[0]; i<=key; i=prime[++KK])
    {
        if(key%i==0)
        {
            cnt[top++]=i;
            key/=i;
            while(key%i==0)
                key/=i;
        }
    }
    if(key!=1)
    {
        cnt[top++]=key;
    }
    for(ll i=0; i<top; i++)
    {
        dfs(i,1,cnt[i],coun);
    }
}
int main()
{
    int T,K=0;
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&c,&d,&x);
        if(x == 0 || x > b || x > d)
        {
            printf("Case %d: 0\n",++K);
            continue;
        }

        b/=x;
        d/=x;
        sum=0;
        if(b>d) swap(b,d);
        //cout<<"b=="<<b<<" "<<"d=="<<d<<endl;
        for(int i=1; i<=b; i++)
        {
            sum+=phi[i];
        }
        //cout<<"sumsss=="<<sum<<endl;
        for(ll i=b+1; i<=d; i++)
        {
            if(su[i])
            {
                sum+=b;
                continue;
            }
            ll coun=0;
            cal(i,coun);
            sum+=(b-coun);
        }
        printf("Case %d: %I64d\n",++K,sum);
    }
    return 0;
}