接着上一次对非线性逻辑数据结构树的内容，开启对二叉树的深入复习和总结。首先还是先回顾一下几个重要的概念：

一、回顾

1. 满二叉树与完全二叉树

满二叉树指的是除了叶子节点外所有的节点都有两个子节点。这样可以很容易的计算出满二叉树的深度，要掌握满二叉树的一些性质。

完全二叉树则是从满二叉树继承而来，指的所有的节点按照从上到下，从左到右的层次顺序依次排列所构成的二叉树称之为完全二叉树。所以可以想象，对于深度为h的完全二叉树，前h-1层可以构成深度为h-1的满二叉树，而对于第h层则是从左到右连续排列的。后面讲到的二叉树的存储结构当采用顺序结构时，为了能够记录二叉树节点有一个前驱和两个后继节点，以及方便插入等采用了完全二叉树的结构，将没有的节点当作虚节点，构建满二叉树，然后从上到下，从左到右依次存入即可。所以，了解满二叉树的性能是非常重要的。当然对于二叉树的存储，采用链式结构会更加的合适，后面会单独介绍。

有了这个性质，对于节点数为553的完全二叉树，可以很容易的计算出它的深度与每一层的节点数：

553 = （512-1）+ 42，所以它的深度为10，而第10层的节点数为42个，而前9层的二叉树结构构成深度为9的满二叉树。

2. 二叉树的存储

前面已经讲过了二叉树的顺序存储结构，是按照完全二叉树的结构进行的编排。这里讲解链式存储结构。

用链式存储结构存储二叉树是很自然的，节点除了数据域之外，设置了left和right两个指针域，分别存放该节点的左右孩子的地址。二叉树的链式存储结构成为二叉链表。其中root是指向根的指针，空树时root为NULL。

二叉树的二叉链表存储结构：

typedef struct tnode

{

DataType data;

struct tnode * left, * right；

}TNode;

当左孩子结点没有时，left = NULL，同理，当右孩子结点没有时，right = NULL。所以从插入、删除以及查找等各种角度上来讲，使用链式存储结构都比使用顺序存储结构要好很多。所以，以后对于二叉树的顺序存储结构只具有对比意义，在实际中都是采用链式存储结构。

二、二叉树的遍历

顺着某一条搜索路径巡访二叉树中的结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次，得到树中所有结点的一个线性排列，将树的结点线性化（定义一个次序）。“访问”的含义可以很广，如：输出结点的信息等。遍历是算法的基础，在线性结构中，遍历的顺序与逻辑顺序一样，所以遍历没有单独研究，而非线性遍历则复杂的多，方法也不止一种，而且算法直接与某种遍历相关联，因此把算法设计与遍历联系在一起研究。

层次遍历：从上到下、从左到右访问各结点；其示意图如下：

先序(前序)遍历：先访问根结点，然后分别先序遍历左子树、右子树；

中序遍历：先中序遍历左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树；

后序遍历：先后序遍历左、右子树，然后访问根结点。

对于下图所示的简单的二叉树，采用不同的遍历方法，得到线性排列分别为：

层次遍历序列：A  B  C  D

先序遍历序列：A  B  D  C

中序遍历序列：B  D  A  C

后序遍历序列：D  B  C  A

三、二叉树的遍历算法

1. 递归算法

那么对于先序遍历的递归算法如下：

<span style="font-family:SimSun;font-size:18px;"><span style="font-size:18px;">void PreOrder(CNode *pNode)
{
	if(pNode!=NULL)
		{
			printf("%lf\t",pNode->data);
			PreOrder(p->lchild);
			PreOrder(p->rchild);
		}
}</span></span>

那么对于中序遍历的递归算法如下：

<span style="font-family:SimSun;font-size:18px;"><span style="font-size:18px;">void PreOrder(CNode *pNode)
{
	if(pNode!=NULL)
		{
			PreOrder(p->lchild);
                        printf("%lf\t",pNode->data);
			PreOrder(p->rchild);
		}
}</span></span>

类似的，对于后续遍历的递归算法如下：

<span style="font-family:SimSun;font-size:18px;"><span style="font-size:18px;">void PreOrder(CNode *pNode)
{
	if(pNode!=NULL)
		{
		        PreOrder(p->lchild);
			PreOrder(p->rchild);
                        printf("%lf\t",pNode->data);
		}
}</span></span>

2. 递归算法的评估

递归函数结构清晰，代码简洁，隐蔽了复杂的细节，而且许多算法由于本身就是递归定义的，所以用递归实现更加直接更方便，但是递归函数有以下不足：

（1） 执行效率低；

（2） 一次递归调用可能产生一层接一层的递归，连续地压栈也许会超出可用堆栈空间的范围；

（3） 递归函数的参数表特殊，通常要比非递归函数所需的参数要多；

（4） 递归设计不是面向对象的方法；

（5） 有些语言不允许使用递归调用。

当强调算法设计，运行时对时间和空间的要求合理，就可以使用递归。

对于使用递归和迭代这两种实现循环的方式，可以参考我的另一篇博文《迭代是人，递归是神（迭代与递归的总结：比较）》，里面有对迭代和递归详细的分析与对比。

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2015-8-2

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