循环的角度求均值

为什么会讨论到这么简单的问题？

举几个例子，角度范围为0~360度，0度和360度是重合的，不妨先算法下面角度的均值，

[10, 30] = 20 结果正确

[20, 100] = 60 结果正确

[160, 200]= 180 结果正确

[0, 360] = 180 因为360度和0度重合，这个结果貌似不是我们想要的，结果360度才合理

[20, 300] = 160 要能求得均值为340度就好了

不知看出什么问题没有——角度求均值不再是简单的算术均值！

修正的0~360度求均值方案

从上面的结果也可以知道，有些情况下角度均值就是算术平均值，那什么情况下不是求算术平均值呢？

如上图，当α<β时，当β-α > 180时，(α+β)/2不再是要求的结果；同理，α<β时，α-β > 180时不再是求算术平均值。

综合这两种情况，当|α-β|>180情况下不是求算术平均值。这种情况下期望的角度均值为（以α小于β为例）：

同理，因为上面的表达式中的α与β对称，所以α大于β计算的结果也一样。因此可知，非算术平均值的情况只要在算术平均值的基础上加180就可以了，因此归纳如下：

180,%20%5Ctheta=%5Cfrac%7B%5Calpha+%5Cbeta%7D%7B2%7D+180%20%5Catop%20%7C%5Calpha-%5Cbeta%7C

上面仅是两个角度值的平均，通过两个角度的差值做判别条件确定是否是算术均值，然而，多个的呢？

多个的角度均值显得有些复杂，这需要用户对输入输出角度范围提供约束，这里不妨将命题变成：考虑到相邻角度在时间上的相关性，设相邻的两个输入角度值偏移值不会大于180度，在这种情况下，只要考虑0~360度的突变情况就可以了。

直接看matlab程序吧（参考资料2），

function [avg] = avg_degree(angles)
% 计算角度平均值，注意0-360度情况

last = angles(1);
sum = angles(1);
for i=2:length(angles)
    diff = mod(angles(i)-angles(i-1)+180,360)-180;
    last = last + diff;
    sum = sum + last;
end
avg = mod(sum/length(angles), 360);

end

给个自己使用的C程序也有，只不过求模用条件运算替换了，

#define ANGLE_DIFF(diff, x2, x1) \
do {  \
    diff = x2-x1+180; \
    if (diff < 0) {  \
        diff = diff + 360 - 180;  \
    } else if (diff > 360) {  \
        diff = diff - 360 - 180;  \
    } else {  \
        diff = diff - 180;  \
    }  \
} while(0)

float angle_avg(float *angle, uint32_t n)
{
    float diff = 0;
    float last = angle[0];
    float sum  = angle[0];
    uint32_t i = 0;

    for (i=1; i<n; i++) {
        /* diff = mod(angle[i]-angle[i-1]+180,360)-180 */
        ANGLE_DIFF(diff, angle[i], angle[i-1]);
        last += diff;
        sum  += last;
    } 

    return sum/n;
}

其中的DIFF宏定义用于计算两个角度差值。

文献综述

维基百科角度出现循环的变量为圆周量，如上面的角度值、一天的24小时等。

Wikipedia中计算平均角度的方法：

参考文献1中给出了关于圆周变量更细致的数学分析与描述，是一份难得的资料，参考文献2是StackOverflow上关于圆周角度的探讨，作为对该问题的理解很有帮助。

参考

1. CodeProject: Circular Values Math and Statistics with C++11
2. Stackoverflow: How do you calculate the average of a set of angles?
3. Wikipedia

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