UVa 10385 - Duathlon

题目：有一个比赛分成跑步和骑车两部分，总长度一定（L），最后的参赛者贿赂了裁判，

裁判会调节两部分的比例，他想要求超过第二名的最大值。

分析：三分求单峰函数最值。设第一部分长度是x，第二部分的长度是L-x，t（x）= x / v +（L-x）/ u；

f（x）= max（x / vn +（L-x）/ un -（x / vi +（L-x）/ ui））；

= x / vn +（L-x）/ un -min（x / vi +（L-x）/ ui）；

下面证明f（x）为单峰函数（即min（x / vi +（L-x）/ ui）为单峰函数）：

首先，只包含两条直线，一定是单峰的函数（或者是单调的）；

再次，设i条直线是单峰的，插入第i+1条（如图黄色的直线），那么得到新的函数；

其中，左交点上的直线斜率一定小于li+1，右交点的直线斜率一定大于li+1；

（因为相交后在右侧的斜率大的在上面，左边斜率小的在上面）

由斜率递增的直线段构成的连续分段函数一定单峰（最低点两端都是单调的）；

结论，综上f（x）时候单峰函数。

说明：╮(╯▽╰)╭。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

const int DATA_SIZE = 10001;

double L,u[DATA_SIZE],v[DATA_SIZE];

double F(int n, double x, double L)
{
	double min_value = x/u[1] + (L-x)/v[1];
	for (int i = 2; i < n; ++ i)
		min_value = min(min_value, x/u[i] + (L-x)/v[i]);
	return min_value - x/u[n] - (L-x)/v[n];
}

int main()
{
	int n;
	while (~scanf("%lf%d",&L,&n)) {
		for (int i = 1; i <= n; ++ i)
			scanf("%lf%lf",&u[i],&v[i]);

		double l = 0,r = L,div_l,div_r;
		while (r-l > 1e-4) {
			div_l = l + (r-l)/3.0;
			div_r = r - (r-l)/3.0;
			if (F(n, div_l, L) > F(n, div_r, L))
				r = div_r;
			else l = div_l;
		}

		if (F(n, l, L) < 0)
			printf("The cheater cannot win.\n");
		else {
			printf("The cheater can win by %.0lf",F(n, l, L)*3600);
			printf(" seconds with r = %.2lfkm and k = %.2lfkm.\n",l,L-l);
		}
	}
    return 0;
}