简要题意：
给定一棵树，\(d_{x,y}\) 为 \(x\) 与 \(y\) 距离（\(d_{x,x} = 0\)），选出两个点 \(x,y\)，最小化：
\[\sum_{u \in V} (w_u \times \min(dis_{x,u} , dis_{y,u}))
\]
这种水的树形dp 黑题，没几个人做真是太可惜了
首先我们要明白这个式子是什么意思。
\(\min (dis_{x,u} , dis_{y,u})\)，就是在 \(x\) 和 \(y\) 中找到较近的那一个的距离。
\(w_u\) 就是点权，\(\sum_{u \in V}\) 是枚举所有节点。
即，所有节点的点权 \(\times\) 离 \(u,v\) 较小的距离之和。
那么，如果只要求一个 \(u\)，就是 树的重心，也就是本题的弱化版：
P1364 医院设置
那么，现在变成了 双重心（其实重心比中心形象一点），怎么做？
算法一
考虑一个 \(O(n^2)\) 的做法。
显然，对于任意一组 \(x,y\)，会有一个 点集 它们都离 \(x\) 较近，另一个 点集 离 \(y\) 较近，这两个点集的分界是一条边。
那么，我们只需要枚举断边（即将树一分为二），形成点集，对两边的点集分别用重心模板求出，将答案之和取最小值。
枚举断边的时间：\(O(n)\).
取重心，算答案的时间：\(O(n)\)
总时间复杂度：\(O(n^2)\).
期望得分：\(0\) ~ \(100pts\).（出题人没给部分分，洛谷评测机跑得快）
算法二
显然，枚举断边无法优化，那我们考虑优化取重心。
下面我们要引出一些 树链剖分 的知识。
一个节点 \(i\)，它所有儿子 \(u \in son_v\) 中，\(siz _ u\)（子树权值和） 最大那个，我们称之为 重儿子，其余是 轻儿子。若干重儿子形成链是重链。
那么，以 \(i\) 为根的子树的重心，如果不在 \(i\)，那么，重心是在重儿子的子树中，还是轻儿子的子树中？
常识告诉我们，肯定是在重儿子的子树中比较好啊。（读者可自证）
所以，我们只需要初始化 每个节点的重儿子 编号即可。
但是有个问题：万一我断边，正好把重儿子的边断掉了呢？
所以，我们还要处理 每个节点的次重儿子，重儿子没了的时候用次重儿子。
然后，我们只需要枚举 重链 上的点作为重心的答案即可。
时间复杂度：\(O(n \times h)\)（\(h\) 为树高，因为重链长度 \(\leq h\)，这也是就是题目明确说明 “树高 \(\leq 100\)” 的用意所在啊）
实际得分：\(100pts\).
#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+1;
inline int read(){char ch=getchar();int f=1; while(!isdigit(ch)) {if(ch==‘-‘) f=-f; ch=getchar();}
int x=0;while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-‘0‘,ch=getchar(); return x*f;}
int val[N],cdson[N],zdson[N];
int ans=INT_MAX,siz[N],f[N];
int w[N],n,dep[N],cut;
vector<int> G[N];
inline void dfs(int u,int fa) {
//当前节点为 u , 父亲节点为 fa
siz[u]=w[u]; f[u]=fa; dep[u]=dep[fa]+1; //初始化子树权值和 , 父亲节点 , 深度
for(int i=0;i<G[u].size();i++) {
int v=G[u][i]; if(v==fa) continue;
dfs(v,u); siz[u]+=siz[v];
val[u]+=val[v]+siz[v]; //换根 dp 的工具
if(siz[v]>siz[zdson[u]]) cdson[u]=zdson[u],zdson[u]=v;
else if(siz[v]>siz[cdson[u]]) cdson[u]=v; //求重儿子和次重儿子
}
}
inline void getans(int u,int now,int all,int &res) {
res=min(res,now); int v=zdson[u];
if(v==cut || siz[cdson[u]]>siz[zdson[u]]) v=cdson[u];
if(!v) return;
if((siz[v]<<1)>all) getans(v,now+all-(siz[v]<<1),all,res);
} //得到以当前节点为重心的答案
inline void solve(int u) {
for(int i=0;i<G[u].size();i++) {
int v=G[u][i]; if(v==f[u]) continue;
cut=v; int A=INT_MAX,B=INT_MAX;
for(int now=u;now;now=f[now]) siz[now]-=siz[v]; //断边 , 所有祖先子树大小减少
getans(1,val[1]-val[v]-dep[v]*siz[v],siz[1],A);
getans(v,val[v],siz[v],B); ans=min(ans,A+B); //得到两边重心答案 , 统计
for(int now=u;now;now=f[now]) siz[now]+=siz[v]; //加回来
solve(v); //继续走
}
}
int main(){
n=read(); dep[0]=-1;
for(int i=1;i<n;i++) {
int u=read(),v=read();
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u); //建树
} for(int i=1;i<=n;i++) w[i]=read();
dfs(1,0); solve(1);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
原文地址：https://www.cnblogs.com/bifanwen/p/12651344.html