耿直的递归题

题目一:有这么一个表格，开始的位置在最左下角，一次只能向右或者向上跳一步，问从左下角到右上角一共有多少种走法？

不妨先从第一步开始分析,根据题意 每一步只能往上或者往下，那往上走一步试试。

会发现现在只有红色区域可以行动了，只看红色区域会发现，又是一样的问题，只是行数少了一个。同理，向右只是列数少了一个。

如果把一个八行五列的表格总共的步数表示为 f(8,5),那么显然  f(8,5)=f(7,5)+f(8,4)

同时最后一定是f(1,1)=0

那么写出递归解法

1 def find_n_steps(row, col):
2     if row == 1 and col == row:
3         return 0
4     result = 0
5     if row > 1:
6         result += 1 + find_n_steps(row - 1, col)
7     if col > 1:
8         result += 1 + find_n_steps(row, col - 1)
9     return result

然而里面有存在重复的计算, 比如f(7,5)和f(8,4)都会算一个f(7,4)

题目二: 青蛙跳台阶，一次只能跳一次或两次，问上n层有多少种跳法？

由第一题一样的思路,得出 f(n)=f(n-1)+f(n-2) 。同时会发现这是一个斐波那契数列。

def find_n_steps(n):
    if n < 1:
        return Exception("Invalid input")
    return __find_n_steps(n)

def __find_n_steps(n):
    if n == 1:
        return 1
    if n == 2:
        return 1

    return find_n_steps(n - 1) + find_n_steps(n - 2)

但是呢, 像第一题一样，里面会出现很多重复计算   比如f(n-1)里面又包括了f(n-2)的结果，所以可以换种循环的方式

def fibonacci(n):
    if n < 1:
        return Exception("Invalid input")
    if n == 1:
        return 1
    if n == 2:
        return 1
    count = 2
    sub1 = 1
    sub2 = 1
    current = -1
    while count < n:
        current = sub1 + sub2
        sub2 = sub1
        sub1 = current
        count += 1
    return current