三维坐标变换矩阵的推导过程

在3D计算机图形学中，我们经常需要使用多个坐标系，因此我们需要知道如何从一个坐标系转到另一个坐标系。在3D计算机图形学中，点(Point)和向量(Vector)的变换是不同的，所以需要分别讨论。

1、向量的变换

如图所示，有两个坐标系A、B和一个向量p。假设我们已经知道了p在坐标系A下的坐标为p_A = (x,y);现在我们要求p在坐标系B下的坐标，p_B = (x‘,y‘) 。也就是说，给定一个坐标系下的向量p，如何计算p在另一个坐标系下的坐标呢？

显然，在坐标系A下，p = x*u + y*v;其中u、v为坐标系A下沿着x轴和y轴的单位向量；而在坐标系B下，p = x*u_B + y*v_B ，其中u_B和v_B为A坐标系下的x轴和y轴在B坐标系下的向量表示。因此，如果求出u_B = (u_x,u_y),v_B = (v_x,v_y),则可以求出p_B = (x‘,y‘)的值。

相应地，将二维情况推广到三维，即可得到：

如果向量p_A = (x , y , z),则p_B = x*u_B + y*v_B + z*w_B;其中p_A为p在A坐标系下的向量表示，p_B为p在B坐标系下的向量表示，u_B 、v_B 、w_B分别为A坐标系下的坐标轴x、y、z在B坐标系下的向量表示。

2、点的变换

点是需要包含位置信息的，因此，点的变换和向量的变换稍微有些不同。

如图所示，在坐标系A下，点p可表示为：p = x*u + y*v + Q ，其中u、v为坐标系A的坐标轴，Q为坐标系A原点的坐标。而在B坐标系下，点p可表示为:p = x*u_B + y*v_B + Q_B ,其中u_B和v_B为A坐标系下的x轴和y轴在B坐标系下的向量表示，Q_B为A坐标系下的原点在B坐标系下的坐标表示。因此，我们只要求出u_B = (u_x,u_y),v_B = (v_x,v_y),Q_B = (Q_x,Q_y),则可求出点p在B坐标下的坐标表示。

同理，将上述变换推广到三维可得：

如果点p_A = (x , y , z),则点p_B = x*u_B + y*v_B + z*w_B +Q_B ;其中p_A为p在A坐标系下的坐标，p_B为p在B坐标系下的坐标，u_B 、v_B 、w_B分别为A坐标系下的坐标轴x、y、z在B坐标系下的向量表示，Q_B为A坐标系下的原点在B坐标系下的坐标表示。

3、点和向量的矩阵表示

结合1和2可得，

对于向量：

(x‘, y‘, z‘) = x*u_B + y*v_B + z*w_B;

对于点:

(x‘, y‘, z‘) = x*u_B + y*v_B + z*w_B + Q_B。

使用齐次坐标，我们将以上两式统一表示为：

(x‘, y‘, z‘,w‘) = x*u_B + y*v_B + z*w_B + w*Q_B。

其中，w=0，为向量的坐标变换；w=1，为点的坐标变换。

令Q_B = (Q_x ,Q_y ,Q_z ,1), u_B = (u_x , u_y , u_z ,0), v_B = (v_x ,v_y ,v_z ,0), w_B = (w_x , w_y , w_z ,0)，则可得坐标系A到坐标系的变换矩阵为