独立成分分析（Independent Component Analysis）
1. 问题：
1、上节提到的PCA是一种数据降维的方法，但是只对符合高斯分布的样本点比较有效，那么对于其他分布的样本，有没有主元分解的方法呢？
2、经典的鸡尾酒宴会问题（cocktail party problem）。假设在party中有n个人，他们可以同时说话，我们也在房间中一些角落里共放置了n个声音接收器（Microphone）用来记录声音。宴会过后，我们从n个麦克风中得到了一组数据
，i表示采样的时间顺序，也就是说共得到了m组采样，每一组采样都是n维的。我们的目标是单单从这m组采样数据中分辨出每个人说话的信号。
将第二个问题细化一下，有n个信号源
，
，每一维都是一个人的声音信号，每个人发出的声音信号独立。A是一个未知的混合矩阵（mixing matrix），用来组合叠加信号s，那么
x的意义在上文解释过，这里的x不是一个向量，是一个矩阵。其中每个列向量是
，
表示成图就是
这张图来自
的每个分量都由
的分量线性表示。A和s都是未知的，x是已知的，我们要想办法根据x来推出s。这个过程也称作为盲信号分离。
令
，那么
将W表示成
其中
，其实就是将
写成行向量形式。那么得到：
2. ICA的不确定性（ICA ambiguities）
由于w和s都不确定，那么在没有先验知识的情况下，无法同时确定这两个相关参数。比如上面的公式s=wx。当w扩大两倍时，s只需要同时扩大两倍即可，等式仍然满足，因此无法得到唯一的s。同时如果将人的编号打乱，变成另外一个顺序，如上图的蓝色节点的编号变为3,2,1，那么只需要调换A的列向量顺序即可，因此也无法单独确定s。这两种情况称为原信号不确定。
还有一种ICA不适用的情况，那就是信号不能是高斯分布的。假设只有两个人发出的声音信号符合多值正态分布，
，I是2*2的单位矩阵，s的概率密度函数就不用说了吧，以均值0为中心，投影面是椭圆的山峰状（参见多值高斯分布）。因为
，因此，x也是高斯分布的，均值为0，协方差为
。
令R是正交阵
，
。如果将A替换成A’。那么
。s分布没变，因此x’仍然是均值为0，协方差
。
因此，不管混合矩阵是A还是A’，x的分布情况是一样的，那么就无法确定混合矩阵，也就无法确定原信号。
3. 密度函数和线性变换
在讨论ICA具体算法之前，我们先来回顾一下概率和线性代数里的知识。
假设我们的随机变量s有概率密度函数
（连续值是概率密度函数，离散值是概率）。为了简单，我们再假设s是实数，还有一个随机变量x=As，A和x都是实数。令
是x的概率密度，那么怎么求
？
令
，首先将式子变换成
，然后得到
，求解完毕。可惜这种方法是错误的。比如s符合均匀分布的话（
），那么s的概率密度是
，现在令A=2，即x=2s，也就是说x在[0,2]上均匀分布，可知
。然而，前面的推导会得到
。正确的公式应该是
推导方法
更一般地，如果s是向量，A可逆的方阵，那么上式子仍然成立。
4. ICA算法
ICA算法归功于Bell和Sejnowski，这里使用最大似然估计来解释算法，原始的论文中使用的是一个复杂的方法Infomax principal。
我们假定每个
有概率密度
，那么给定时刻原信号的联合分布就是
这个公式代表一个假设前提：每个人发出的声音信号各自独立。有了p(s)，我们可以求得p(x)
左边是每个采样信号x（n维向量）的概率，右边是每个原信号概率的乘积的|W|倍。
前面提到过，如果没有先验知识，我们无法求得W和s。因此我们需要知道
，我们打算选取一个概率密度函数赋给s，但是我们不能选取高斯分布的密度函数。在概率论里我们知道密度函数p(x)由累计分布函数（cdf）F(x)求导得到。F(x)要满足两个性质是：单调递增和在[0,1]。我们发现sigmoid函数很适合，定义域负无穷到正无穷，值域0到1，缓慢递增。我们假定s的累积分布函数符合sigmoid函数
求导后
这就是s的密度函数。这里s是实数。
如果我们预先知道s的分布函数，那就不用假设了，但是在缺失的情况下，sigmoid函数能够在大多数问题上取得不错的效果。由于上式中
是个对称函数，因此E[s]=0（s的均值为0），那么E[x]=E[As]=0，x的均值也是0。
知道了
，就剩下W了。给定采样后的训练样本
，样本对数似然估计如下：
使用前面得到的x的概率密度函数，得
大括号里面是
。
接下来就是对W求导了，这里牵涉一个问题是对行列式|W|进行求导的方法，属于矩阵微积分。这里先给出结果，在文章最后再给出推导公式。
最终得到的求导后公式如下，
的导数为
（可以自己验证）：
其中
是梯度上升速率，人为指定。
当迭代求出W后，便可得到
来还原出原始信号。
注意：我们计算最大似然估计时，假设了
与
之间是独立的，然而对于语音信号或者其他具有时间连续依赖特性（比如温度）上，这个假设不能成立。但是在数据足够多时，假设独立对效果影响不大，同时如果事先打乱样例，并运行随机梯度上升算法，那么能够加快收敛速度。
回顾一下鸡尾酒宴会问题，s是人发出的信号，是连续值，不同时间点的s不同，每个人发出的信号之间独立（
和
之间独立）。s的累计概率分布函数是sigmoid函数，但是所有人发出声音信号都符合这个分布。A（W的逆阵）代表了s相对于x的位置变化，x是s和A变化后的结果。
5. 实例
s=2时的原始信号
观察到的x信号
使用ICA还原后的s信号
6. 行列式的梯度
对行列式求导，设矩阵A是n×n的，我们知道行列式与代数余子式有关，
是去掉第i行第j列后的余子式，那么对
求导得
adj(A)跟我们线性代数中学的
是一个意思，因此
