这里对于题意在说明一下, 题目中要求的排列必须是波浪形,每一个在排列中的人不是波峰就是波谷,如果它既不是波峰也不是波谷排列就是错的.
对于我这种数学渣渣来说,做一道dp题要好久,%>_<% 怎么想到的DP呢? 首先他看起来像搜素,但数据范围很大(对于深搜来说20就够大了),抱着试一试的心态用暴搜写了一下,结果在n=12是爆掉了,怎么优化慢了一倍的时间呢? 由于我剪枝能力一点都不高,然后我觉得搜素爆掉就要想dp,然后越想越觉得很对.
解题思路,假设n个人身高从1到n升序排列,我们先把题目分解成一个最小子问题,就是第n个人要插在哪里? 他前面有n-1人, 那么就有n个孔等着他插,假设他插到了第j个位置,前面有j-1人,后面有n-j人. 那么第一个式子就出来了,当第n个人在j位置时,对于这种情况的排列总数为前面j-1人的总排列数*后面n-j人的总排列数,这是不是就是很明显的dp了,求一个解必须已知其他的解,但现在其他的解没有规律无法求出,那么就找出规律来. 咱们在想,第n个人是不是一定最高,他插在j位置,他前面的那个人一定比他矮,那么第n个人前面的那个序列最后两人一定是降序排列的,我们设这种状态为0,那后面的那个序列的前面两人也一定是升序排列的,我们设为1,那么此时有dp[j][0]代表j个人最后两人是升序排列的总排列数,dp[n-j][1]代表n-j个人最前面两人是升序排列的.但是还没完,还有很重要的一点没有考虑到, 第n个人前面的j-1个人是不是不知道选谁,因为第n个人在最初排列中他前面有n-1个人这n-1中选哪几个站在第n个人前面呢? 不要考虑身高(因为对于波浪线来说总会有合适的) 这样是不是c(n-1,j-1)一下,前面的人确定了,后面的人也就随之确定了,所以就不用考虑了.
这样推到之后,有递推公式 c(n-1,j-1)*dp[j-1][0]*dp[n-j][1] 由于对称性 sum[n](n的总排列数)/2=dp[n][0]=dp[n][1],想一想对不对?
那么最终n的总排列数就等于把所有孔算完相加的值,代码如下.
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3
4 using namespace std;
5
6 __int64 dp[21][2];
7 __int64 answer[21];
8
9 __int64 C(int x,int y) // xÊǵ×Êý
10 {
11 __int64 mother=1,son=1;
12 for(int i=0;i<y;i++)
13 {
14 mother*=(y-i);
15 son*=(x-i);
16 }
17 return son/mother;
18 }
19 int main()
20 {
21 for(int i=0;i<=20;i++){
22 for(int j=0;j<2;j++)
23 dp[i][j]=1;
24 }
25 answer[1]=1;
26 for(int i=2;i<=20;i++){
27 for(int j=1;j<=i;j++){
28 answer[i]+=C(i-1,j-1)*dp[j-1][0]*dp[i-j][1];
29
30 }
31 dp[i][0]=dp[i][1]=answer[i]/2;
32 }
33 int t;
34 scanf("%d",&t);
35 while(t--)
36 {
37 int k,n;
38 scanf("%d%d",&k,&n);
39 printf("%d ",k);
40 printf("%I64d\n",answer[n]);
41 }
42 return 0;
43 }