本文翻译自Google工程师/面试官Alex Golec的文章：Google Interview Questions Deconstructed: The Knight’s Dialer；
来源：实验楼，翻译：实验楼扫地阿姨
作为一名Google的工程师和面试官，今天是我第二次发文分享科技公司面试建议了。这里先声明：本文仅代表我个人的观察、意见和建议。请勿当作来自Google或Alphabet的官方建议或声明。
下面这个问题，是我面试生涯中第一个问题；也是第一个被泄漏出来，以及第一个被禁掉的问题。我喜欢这个问题，因为它有以下优点：
- 问题很容易表述清楚，也容易理解。
- 这个问题有多个解。每个解都需要不同程度的算法和数据结构知识。而且，还需要一点点远见。
- 每个解都可以简单几行代码实现，非常适合有时间限制的面试。
如果你是学生，或者求职者，我希望你通过本文能够了解到，面试问题一般会是怎么样的。如果你也是面试官，我很乐意分享自己在面试中的风格和想法，如何更好地传达信息、征求意见。
注意，我将使用Python写代码；我喜欢Python因为它易学，简洁，而且有海量的标准库。我遇到的很多面试者也很喜欢，尽管我们推行“不限定语言”的政策，我面试90%的人都用Python。而且，我用的Python 3因为，拜托，这都2018年了。
问题
把你的手机拨号页想象成一个棋盘。棋子走只能走“L”形状，横着两步，竖着一步；或者竖着两步，横着一步。
现在，假设你拨号只能像棋子一样走“L”形状。每走完一个“L”形拨一次号，起始位置也算拨号一次。问题：从某点开始，在N步内，你可以拨到多少不同的数字？
讨论
每次面试，我基本都会分成两个部分：首先我们找出算法方案，然后让面试者在代码中实现。我说“我们找出算法方案”，因为这个过程我不是沉默的独裁者。在这样高压下，设计并实现一种算法，45分钟时间并不算充足。
我通常会让面试者主导讨论，让他们去产生想法，我嘛，就在旁边，时不时地泄漏一点点“天机”。面试者们能力越强，我需要泄漏的“天机”就越少；但是目前为止，我还没遇到一点都不需要我提示的面试者。
有一点我想强调一下，重要的很：作为面试官，我的职责可不是坐那看着大家失败搞砸。我想要给大家正面的反馈，给大家机会去展现大家最擅长的点。给他们提示，就像是在说：呐，这一步路我给你铺上，但这只是为了让你展示给我，你在后面的路上能走的更远。《面试千万不要犯这 5 点低级错误！》你一定要看一下。
当听完面试官的问题，你应该做什么？切记不要立刻就去写代码，而是在黑板上试着一步一步去分解问题。分解问题能够帮助你寻找到规律，特例等等，逐渐在大脑中形成解决方案。比如，你现在从数字6开始走，能走2步，会有如下组合：
6–1–8
??? 6–1–6
??? 6–7–2
??? 6–7–6
??? 6–0–4
??? 6–0–6
一共有6种组合。你可以试着用铅笔在纸上画，相信我，有时候动手去解决问题会发生意想不到的事，比你盯着在脑袋里想更神奇。
怎么样？你脑海里有方案了吗？
第0阶：到达下一步
使用这个问题面试，最让我惊讶的是，太多人都卡在了计算从某个特定点跳出时，一共有多少种可能，即邻Neighbors。我的建议是：当你不确定时，先写个占位符，然后请求面试官能否晚点实现这一部分。
这个问题的复杂性并不在Neighbors的计算；我在意的是你如何计算出总数。所有花费在计算Neighbors上的时间其实都是浪费。
我会接受“让我们假设有一个函数能给出我Neighbors”。当然，我也可能会让你后面有时间再去实现这一步，你只需要这样写，然后继续。
而且，如果一个问题的复杂性不在这里，你也可以问我能不能先略过，一般我都是允许的。我倒是不介意面试者不知道问题的复杂性在哪里，尤其刚开始他们还没有全面了解问题的时候。
至于Neighbors函数，因为数字永远不变，你可以直接写一个Map然后返回符合的值。
第1阶：递归
聪明的你可能注意到了，这个问题可以通过枚举出所有符合条件的数字，然后计算。这里可以使用递归产生这些值：
这个方法可以，而且是在面试中最普遍的方法。但是请注意，我们产生了这么多数字却并没有使用他们，我们计算完他们的个数后，就再也不去碰了。所以我建议大家遇到这种情况，尽量去想一下看有没有更好的方案。《必须掌握的 8 道数据结构面试题》你一定要看一下。
第2阶：数不数数
怎么在不产生这些数字的情况下计算出个数？可以做到，但需要一点点机智。注意从特定点跳出N次能够拨到的数字个数，等于从它所有临近的点跳出N-1次能够拨到的数字个数的总和。我们可以表达为这样的递归关系：
如果你这样想，就会很直观了，跳一次时：6有3个neighbors（1，7和0），当跳0次时每个数字本身算一次，因此每次你只能拨到3个数字。
怎么会产生这样机智的想法？其实，如果你学了递归，并且在黑板上好好研究，这一点就会变得显而易见。这样你就能继续去解决这个问题，实际上就这一点就有多种实现方法，下面这个便是面试中最常见的：
就是这样，结合这个函数计算出neighbors 就可以了。这时候，你就可以捏捏肩膀休息下了，因为到这里，你已经刷掉很多人了。
接下来这个问题我经常问：这个方案的算法理论速度如何？在这个实现中，每次调用count_sequences()都会递归地调用count_sequences()至少2次，因为每个数字至少有2个neighbors。这样会导致runtime成指数增长。
对于跳1次到20次这样的次数还可以，但是到更大的数字，我们就要碰壁。500次可能就需要整个宇宙的热量来完成运算。
第3阶：记忆
那么，我们能做的更好么？使用上面的方法，并不能。我喜欢这个问题，也是因为他能一层一层带出大家的智慧，找到更高效的方法。为了找到更好的方法，让我们看下这个函数是怎么调用的，以count_sequences(6, 4)为例。注意这里用C作为函数名简化。
你可能注意到了，C(6, 2)运行了3次，每次都是同样的运算并返回同样的值。这里最关键的点在于这些重复的运算，每次你使用过他们的值之后，就没有必要再次计算。
怎么解决****这个问题？记忆。我们那些相同的函数调用和结果，而不是让他们重复。这样，在后面我们就可以直接给出之前的结果。实现方法如下：
第4阶：动态设计
如果你再看看前面的递归关系，就会发现递归记忆的方案也有一点局限性：
注意跳N次的结果仅仅取决于跳N-1次后调用的结果。同时，缓存中包含着每个次数的所有结果。我之所以说这是个小局限，因为确实不会造成真的问题，当跳的次数增长时，缓存也只是线性增长。但是，毕竟，这还是不够高效。《必须掌握的 8 道数据结构面试题》你一定要看一下。
怎么办？让我们再来看一看方案和代码。注意，代码中是从最大的次数开始，然后直接递归到最小的次数：
如果你把整个的函数调用图想象成某种虚拟的树，你就会发现我们在执行深度优先策略。这并没有什么问题，但是它没有利用到浅依赖这个属性。
如何实现广度优先策略？这里就是一种实现方法：
这个版本比前面递归版好在哪里？其实并没有好很多，但是这个不是递归的，因此即使处理超大数据也很难崩溃。其次，它使用的是常量内存；最后，它仍旧是线性增长，即便处理200000次跳也只用不到20秒。
评估
到这里，基本就算完了。设计并实现一个线性时的、产量内存的方案，在面试中是非常好的结果。在我的面试中，如果有面试者写出动态编程设计，我通常会给他一个极高的评价：excellent！
当评估算法和数据结构的时候，我经常会说：面试者对问题认识清晰，并且考虑到各方面的可能，当指出不足时他也能迅速改进并提高；最终，实现了一个不错的解决方案。
当评估代码的时候，我最理想的说法是：面试者迅速并精确地把想法转化为了代码；代码结构严谨，容易阅读。所有特殊情况都有概括，并且认真检查测试了代码，确保了没有Bug。
总结
我知道，这个面试问题看上去似乎有点吓人，尤其整个解释下来非常繁琐。但本文的目的和面试中完全不一样。最后，一点面试相关的技巧，以及一些好的习惯，分享给大家：
- 一定要手动来，从最小的问题开始解决。
- 当你的程序在做无用的运算时，一定要注意去优化。减少不必要的运算能够让你的解决方案更加简洁，说不定能因此发现更高效的方案。
- 了解你的递归函数。在实际生产中，递归常常很容易出问题，但它仍旧是非常强大的算法设计和策略。递归方案也总是有优化和提高的余地。
- 要常常去寻找记忆的机会。如果你的函数是目的性的，并且会多次调用相同的值，那么就试着去存储起来。
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