题目描述
小 A 有 \(n\) 个球，编号分别为 \(1\) 到 \(n\)，小 A 每次都会从 \(n\) 个球中取出若干个球，至少取一个，至多取 \(n\) 个，每次取完再放回去，取出的球需要满足以下两个条件：
- 每次取出的球的个数两两不同。
- 每次取出的球的集合两两不包含。
包含是指，对于两次取球，取的数目少的那次取球的所有球都出现在取的数目多的那次取球中。
例如 \(\{1,2\}\) 和 \(\{1,2,4\}\)，\(\{1,2\}\) 和 \(\{2,3\}\) 则不算作包含。
而小 A 现在突然想知道他最多能进行多少次这样的操作，并希望你能给出具体的取球方案。
输入格式
一个整数 \(n\)。
输出格式
第一行一个数 \(k\)，表示能进行的最多次数。
接下来 \(k\) 行，每行第一个整数 \(p\)，表示这次取的球数；
接下来 \(p\) 个数表示这次取的球的编号，编号只需要不同，不需要按照顺序输出，
计分标准
本题设有 Special Judge。
对于每个测试点，每组数据第一行正确可以获得 \(20\%\) 的分，如果第一行和方案均正确获得 \(100\%\) 的分。
数据范围
评测时间限制 \(1000\ \mathrm{ms}\)，空间限制 \(512\ \mathrm{MiB}\)。
- 对于 \(30\%\) 的数据，\(n\le 7\)；
- 对于 \(50\%\) 的数据，\(n\le 20\)；
- 对于 \(70\%\) 的数据，\(n\le 100\)；
- 对于 \(100\%\) 的数据，\(4\le n\le 1000\)。
分析
这道题是一道典型的组合类结论题，需要计算上限和构造。
由于部分分没有什么可讲的，所以我们直接去考虑满分算法。
\(100\ \mathtt{pts}\)
遇到这种组合题，首先考虑答案上界。
一个显而易见的结论是，不可能有超过 \(n\) 个集合。（否则根据抽屉原理，必有两个集合大小相同）
一个更显而易见的结论是，不可能存在大小为 \(n\) 的集合。（废话，否则剩下的所有集合都是这个集合的子集）
一个不是那么显然的结论是，大小为 \(1\) 的集合与大小为 \(n-1\) 的集合不共存。为什么？
根据题意，显然如果能够共存，一定长这个样子：
那么问题来了：大小为 \(2\)（或者更大的）的怎么办？
首先，不可能在 \(1\) 这一边，这样就会包含 \(1\)。
但是，又不能不在 \(1\) 这一边，不然就会被 \(n-1\) 包含。矛盾。
（左右为♂难）
所以，理论最大答案就是 \(n-2\)。
接下来我们考虑构造，这才是这道题真正的难点。
首先，我们不妨先来试一下。
（注：接下来的构造过程基于 \(1\) 到 \(n-2\) 的集合构造，如果使用 \(2\) 到 \(n-1\) 也会得到类似的结论。构造方式不止这一种，还有很多种方式可以做到）
比如对于一个大小为 \(n\) 的球集合，我们要先留出一个位子给 \(1\) 用，再放上 \(n-2\) 和 \(2\)，就像这样：
（易证这是唯一可能的情况，不包括顺序的打乱）
接下来我们试图放上 \(3\)，发现条件与 \(2\) 类似，不要放在 \(1\) 上，也不要全部在 \(n-2\) 上。
接下来所有的集合都有类似的规则。
那么，我们是不是可以对这个大集合做一些操作，使得这些规则消除呢？
我们发现，除了 \(1\) 和 \(n-2\) 以外，其余所有的集合都必须有第二个元素。
同时，\(1\) 也是一个不必要的存在，可以将其视为空无，或者屏蔽。
所以，我们对大集合做出这样的操作——把 \(1\)，\(2\) 两个元素删掉，同时干掉 \(1\) 和 \(n-2\) 这两个集合。
我们惊奇地发现，这样的新集合就是 \(n-2\) 时的问题。
不懂？看图就知道了：
于是，我们就可以递归求解了！
当然，我们也可以稍微动动脑筋，变成一个简单的循环问题。具体实现见代码。
Code
我们只要稍微转换一下就可以降低实现难度，更快地解决问题了。
我们可以记录一个数组 sta[i]，来记录当前递归时接下来所有集合都要加进去的东西。
对于上一张图的每一层，先根据 sta[i] 输出这一层的两个集合，再往 sta[i] 里面加入这一层要求接下来所有集合必须包含的东西。
比如说，处理第一层时，那个剩下来的元素（图中第二个）就会被加入这个数组，接下来每一个集合都必须有这个元素。
当然，这道题的边界也是要稍微留留神的。尤其是奇偶性，如果是奇数的话就要再多输出一个集合。
为了加快速度，5ab 写了一个快写，因为这道题的输出量可能会到 \(10^6\)。
// @author 5ab
#include <cstdio>
using namespace std;
const int max_n = 1000;
// 不要那么在意变量名辣……
int dk[max_n>>1] = {};
void _write(int x)
{
if (x > 9)
_write(x / 10);
putchar(x % 10 + ‘0‘);
}
inline void write(int x)
{
if (x < 0)
{
putchar(‘-‘);
x = -x;
}
_write(x);
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
write(n - 2);
putchar(‘\n‘);
for (int i = 0; i < n / 2 - 1; i++)
{
write(n - i - 2);
putchar(‘ ‘);
for (int j = 0; j < i; j++)
{
write(dk[j]);
putchar(‘ ‘);
}
for (int j = 2 * i + 2; j < n; j++)
{
write(j + 1);
putchar(‘ ‘);
}
putchar(‘\n‘);
write(i + 1);
putchar(‘ ‘);
dk[i] = i * 2 + 2;
for (int j = 0; j < i; j++)
{
write(dk[j]);
putchar(‘ ‘);
}
write(dk[i] - 1);
putchar(‘\n‘);
}
if (n & 1)
{
write(n / 2);
putchar(‘ ‘);
for (int i = 2; i <= n; i += 2)
{
write(i);
putchar(‘ ‘);
}
putchar(‘\n‘);
}
return 0;
}
后记
这道题当时在考场上时只想到了上界，却不知道构造方法。
后来看了解题报告也是不知所云。
最后，经过一番摸索和试验，终于拼凑出一个做法，才有了这一篇题解。
有时，一些结论需要试验才能得出。试验一直是结论的试金石。要敢于试验，才能敢于下结论，最后证明。
原文地址：https://www.cnblogs.com/5ab-juruo/p/solution-20200329-ball.html