1706: [usaco2007 Nov]relays 奶牛接力跑
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Description
FJ的N(2 <= N <= 1,000,000)头奶牛选择了接力跑作为她们的日常锻炼项目。至于进行接力跑的地点 自然是在牧场中现有的T(2 <= T <= 100)条跑道上。 农场上的跑道有一些交汇点，每条跑道都连结了两个不同的交汇点 I1_i和I2_i(1 <= I1_i <= 1,000; 1 <= I2_i <= 1,000)。每个交汇点都是至少两条跑道的端点。 奶牛们知道每条跑道的长度length_i(1 <= length_i <= 1,000)，以及每条跑道连结的交汇点的编号 并且，没有哪两个交汇点由两条不同的跑道直接相连。你可以认为这些交汇点和跑道构成了一张图。 为了完成一场接力跑，所有N头奶牛在跑步开始之前都要站在某个交汇点上（有些交汇点上可能站着不只1头奶牛）。当然，她们的站位要保证她们能够将接力棒顺次传递，并且最后持棒的奶牛要停在预设的终点。 你的任务是，写一个程序，计算在接力跑的起点(S)和终点(E)确定的情况下，奶牛们跑步路径可能的最小总长度。显然，这条路径必须恰好经过N条跑道。
Input
* 第1行: 4个用空格隔开的整数：N，T，S，以及E
* 第2..T+1行: 第i+1为3个以空格隔开的整数：length_i，I1_i，以及I2_i， 描述了第i条跑道。
Output
* 第1行: 输出1个正整数，表示起点为S、终点为E，并且恰好经过N条跑道的路 径的最小长度
Sample Input
2 6 6 4
11 4 6
4 4 8
8 4 9
6 6 8
2 6 9
3 8 9
Sample Output
10
HINT
Source
Analysis
分步Floyd qwq
我今儿算是学到了新套路了...
首先复习一波Floyd原理
三层循环 k i j
表示 i -> j 的路径中插入 k ，如果路径更短的话就更新为 i -> k -> j
所以根据这个
我们知道：整个邻接矩阵更新几次，就是所有的最短路径里有几条边
（如果不更新的话，那么所有路径都只有一条边，也就是初始矩阵）
那么把这个写成一个矩阵间的二元运算关系，A @ B = C
在这个过程中，C[ i ][ j ] = min(C[ i ][ j ],A[ i ][ k ]+B[ k ][ j ])
和Floyd是一样的
这东西，还符合结合律
所以对于 k 步Floyd 我们可以写成一个矩阵快速幂，只是运算从矩阵相乘变成了这个单步Floyd
那么对于这道题
其实就是求 n 步Floyd之后起点和终点之间的距离
那么一个离散化（因为数据范围有点诡异）+ 一个分步Floyd求终矩阵
比较简单，没有其他坑点
Code
1 #include<cstdio>
2 #include<iostream>
3 #include<algorithm>
4 using namespace std;
5
6 const int inf = 1e9;
7 int Poi = 1,poi,Chart[300],chart[3000000],s,t,n,k,a,b,c;
8
9 struct MAT{
10 int mat[300][300];
11 MAT(){
12 for(int i = 1;i < 300;i++)
13 for(int j = 1;j < 300;j++)
14 mat[i][j] = inf;
15 }
16
17 void print(){cout << endl;
18 for(int i = 1;i <= n;i++){
19 for(int j = 1;j <= n;j++)
20 cout << mat[i][j] << ‘ ‘;
21 cout << endl;
22 }
23 }
24 }S;
25
26 struct list{
27 int a,b,c;
28 }arr[300];
29
30 int find(int x){
31 int L = 1,R = Poi-1,mid;
32 while(L < R){
33 mid = (L+R)/2;
34 if(Chart[mid] < x) L = mid+1;
35 else R = mid;
36 }return L;
37 }
38
39 void Init(){
40 sort(chart,chart+poi);
41 Chart[Poi++] = chart[0];
42 Poi = 1;
43 for(int i = 1;i < poi;i++)
44 if(chart[i] != Chart[Poi-1]) Chart[Poi++] = chart[i];
45 s = find(s);
46 t = find(t);
47 for(int i = 1;i <= n;i++){
48 int aa,bb;
49 aa = find(arr[i].a),bb = find(arr[i].b),c = arr[i].c;
50 // printf("%d %d %d\n",aa,bb,c);
51 S.mat[aa][bb] = S.mat[bb][aa] = c;
52 }n = Poi-1;
53 }
54
55 MAT mul(MAT A,MAT B){
56 MAT C;
57 for(int k = 1;k <= n;k++)
58 for(int i = 1;i <= n;i++)
59 for(int j = 1;j <= n;j++)
60 C.mat[i][j] = min(C.mat[i][j],A.mat[i][k]+B.mat[k][j]);
61 return C;
62 }
63
64 MAT ksm(MAT A,int kk){
65 // printf("BFYAYIYE");
66 MAT B = A; kk--;
67 // if(!kk) return A; 显然这行代码没有任何问题，但是加入后这个RE了，求大佬解释啊qwq
68
69
70 while(kk){
71 // B.print();
72 if(kk&1) B = mul(B,A);
73 A = mul(A,A);
74 kk >>= 1;
75 }return B;
76 }
77
78 int main(){
79 freopen("LLQ.in","r",stdin);
80 // freopen("LLQ.out","w",stdout);
81
82 scanf("%d%d%d%d",&k,&n,&s,&t);
83
84 for(int i = 1;i <= n;i++){
85 scanf("%d%d%d",&c,&a,&b);
86 arr[i].a = a;
87 arr[i].b = b;
88 arr[i].c = c;
89 // chart[poi++] = a;
90 chart[poi++] = a;
91 chart[poi++] = b;
92 }
93
94 Init();
95
96 // for(int i = 0;i <= Poi;i++) cout << Chart[i] << ‘ ‘;
97
98 // S.print();
99 S = ksm(S,k);
100
101 printf("%d",S.mat[s][t]);
102
103 return 0;
104 }
分步Floyd