1. DNN神经网络的前向传播（FeedForward）

2. DNN神经网络的反向更新（BP）

3. DNN神经网络的正则化

1. 前言

和普通的机器学习算法一样，DNN也会遇到过拟合的问题，需要考虑泛化，这里我们就对DNN的正则化方法做一个总结。

2. DNN的L1和L2正则化

想到正则化，我们首先想到的就是L1正则化和L2正则化。L1正则化和L2正则化原理类似，这里重点讲述DNN的L2正则化。

而DNN的L2正则化通常的做法是只针对与线性系数矩阵\(W\),而不针对偏倚系数\(b\)。利用我们之前的机器学习的知识，我们很容易可以写出DNN的L2正则化的损失函数。

假如我们的每个样本的损失函数是均方差损失函数,则所有的m个样本的损失函数为：

\[
J(W,b) = \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}||a^L-y||_2^2
\]
则加上了L2正则化后的损失函数是

\[
J(W,b) = \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}||a^L-y||_2^2 + \frac{\lambda}{2m}\sum\limits_{l=2}^L||w||_2^2
\]
其中,$\lambda\(1即我们的正则化超参数，实际使用时需要调参。而\)w\(为所有权重矩阵\)W$的所有列向量。

如果使用上式的损失函数，进行反向传播算法时，流程和没有正则化的反向传播算法完全一样，区别仅仅在于进行梯度下降法时，W的更新公式。

回想我们在DNN神经网络的反向更新（BP）中，\(W\)的梯度下降更新公式为：

\[
W^l = W^l -\alpha \sum\limits_{i=1}^m \delta^{i,l}(a^{x, l-1})^T
\]
则加入L2正则化以后，迭代更新公式变成：

\[
W^l = W^l -\alpha \sum\limits_{i=1}^m \delta^{i,l}(a^{i, l-1})^T -\alpha \lambda W^l
\]
注意到上式中的梯度计算中\(\frac{1}{m}\)我忽略了，因为\(\alpha\)是常数，而除以\(m\)也是常数，所以等同于用了新常数\(\alpha\)来代替\(\frac{\alpha}{m}\)。进而简化表达式，但是不影响损失算法。

类似的L2正则化方法可以用于交叉熵损失函数或者其他的DNN损失函数，这里就不累述了。

3. DNN通过集成学习的思路正则化

除了常见的L1和L2正则化，DNN还可以通过集成学习的思路正则化。在集成学习原理中，我们讲到集成学习有Boosting和Bagging两种思路。而DNN可以用Bagging的思路来正则化。常用的机器学习Bagging算法中，随机森林是最流行的。它 通过随机采样构建若干个相互独立的弱决策树学习器，最后采用加权平均法或者投票法决定集成的输出。在DNN中，我们一样使用Bagging的思路。不过和随机森林不同的是，我们这里不是若干个决策树，而是若干个DNN的网络。

首先我们要对原始的\(m\)个训练样本进行有放回随机采样，构建\(N\)组\(m\)个样本的数据集，然后分别用这\(N\)组数据集去训练我们的DNN。即采用我们的前向传播算法和反向传播算法得到N个DNN模型的\(W,b\)参数组合，最后对\(N\)个DNN模型的输出用加权平均法或者投票法决定最终输出。

不过用集成学习Bagging的方法有一个问题，就是我们的DNN模型本来就比较复杂，参数很多。现在又变成了\(N\)个DNN模型，这样参数又增加了\(N\)倍，从而导致训练这样的网络要花更加多的时间和空间。因此一般N的个数不能太多，比如5-10个就可以了。

4. DNN通过Dropout正则化

这里我们再讲一种和Bagging类似但是又不同的正则化方法：Dropout。

所谓的Dropout指的是在用前向传播算法和反向传播算法训练DNN模型时，一批数据迭代时，随机的从全连接DNN网络中去掉一部分隐藏层的神经元。

比如我们本来的DNN模型对应的结构是这样的：

在对训练集中的一批数据进行训练时，我们随机去掉一部分隐藏层的神经元，并用去掉隐藏层的神经元的网络来拟合我们的一批训练数据。如下图，去掉了一半的隐藏层神经元：

然后用这个去掉隐藏层的神经元的网络来进行一轮迭代，更新所有的\(W,b\)。这就是所谓的dropout。

当然，dropout并不意味着这些神经元永远的消失了。在下一批数据迭代前，我们会把DNN模型恢复成最初的全连接模型，然后再用随机的方法去掉部分隐藏层的神经元，接着去迭代更新\(W,b\)。当然，这次用随机的方法去掉部分隐藏层后的残缺DNN网络和上次的残缺DNN网络并不相同。

总结下dropout的方法： 每轮梯度下降迭代时，它需要将训练数据分成若干批，然后分批进行迭代，每批数据迭代时，需要将原始的DNN模型随机去掉部分隐藏层的神经元，用残缺的DNN模型来迭代更新\(W,b\)。每批数据迭代更新完毕后，要将残缺的DNN模型恢复成原始的DNN模型。

从上面的描述可以看出dropout和Bagging的正则化思路还是很不相同的。dropout模型中的W,b是一套，共享的。所有的残缺DNN迭代时，更新的是同一组\(W,b\)；而Bagging正则化时每个DNN模型有自己独有的一套\(W,b\)参数，相互之间是独立的。当然他们每次使用基于原始数据集得到的分批的数据集来训练模型，这点是类似的。

使用基于dropout的正则化比基于bagging的正则化简单，这显而易见，当然天下没有免费的午餐，由于dropout会将原始数据分批迭代，因此原始数据集最好较大，否则模型可能会欠拟合。

5. DNN通过增强数据集正则化

增强模型泛化能力最好的办法是有更多更多的训练数据，但是在实际应用中，更多的训练数据往往很难得到。有时候我们不得不去自己想办法能无中生有，来增加训练数据集，进而得到让模型泛化能力更强的目的。

对于我们传统的机器学习分类回归方法，增强数据集还是很难的。你无中生有出一组特征输入，却很难知道对应的特征输出是什么。但是对于DNN擅长的领域，比如图像识别，语音识别等则是有办法的。以图像识别领域为例，对于原始的数据集中的图像，我们可以将原始图像稍微的平移或者旋转一点点，则得到了一个新的图像。虽然这是一个新的图像，即样本的特征是新的，但是我们知道对应的特征输出和之前未平移旋转的图像是一样的。

6. 总结

DNN的正则化的方法是很多的，还是持续的研究中。在Deep Learning这本书中，正则化是洋洋洒洒的一大章。里面提到的其他正则化方法有：Noise Robustness， Adversarial Training，Early Stopping等。如果大家对这些正则化方法感兴趣，可以去阅读Deep Learning这本书中的第七章。

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