数论基础
算术基本定理（唯一分解定理）
任何一个大于1的自然数都可以唯一分解成有限个素数的乘积
$N=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times...\times p_n^{a_n} | p_1<p_2<...<p_n ,a_i\in Z$
上式中$p_i$为素数
有关素数筛
埃式筛法
就是拿一个已经筛选出的素数去排掉其他的数，比如2是素数，就用他筛掉2*2，2*3，2*4……，3是素数，就用他筛掉3*2，3*3，3*4……，把每个素数的倍数都筛掉，不过我们发现，3*2事实上已经在2的时候筛掉过了，即比这个数小的倍数都已经被筛过了，所以我们只要从这个数的平方开始筛就可以了。这个筛法最容易理解也最好写，一定要会写！经过这个筛法，能打素数表，能判定一个数是不是素数。复杂度O(nloglogn)。也可以用这种筛法筛出因子。
1 const int N=1e6+7;
2 bool isprime[N];
3 int prime[N];//储存素数，打表
4 void db()
5 {
6 memset(isprime,1,sizeof(isprime));//这步事实上不太好，不过因为是bool类型所以不影响结果
7 isprime[0]=isprime[1]=0;
8 int cntp=0;
9 for(long long i=2;i<N;i++)
10 {
11 if(isprime[i])
12 {
13 prime[cntp++]=i;
14 for(long long j=i*i;j<N;j+=i)//i*i会爆int所以用ll
15 isprime[j]=0;
16 }
17 }
18 }
埃式筛法
欧拉线性筛法
正常情况下就算是没有优化的埃式筛法应该也是够用的，但是我们发现埃式筛法还是不是最快的，比如12这个数会被2和3筛两次，诸如此类的重复会降低效率。所以我们给出欧拉线性筛法。这个筛法自然比较难理解一点，其思路是这样的，从2开始，将这个素数和之前筛出的所有素数的乘积都判负，如果碰到i是一个合数，也用他去筛，但在筛的循环中碰到一个是他因子的素数就跳出（一个合数必定能表示成至少一个素数参与的分解式），达到避免重复筛的目的，然后一个循环后就筛出了素数。这个方法比较难理解，我也不是很能感受到这个方法的正确性，不过据说用反证法能进行证明。复杂度O(n)。
线性筛还能用在处理其他积性函数上。
1 const int N=1e6+7;
2 bool isprime[N];
3 int prime[N];
4 void db()
5 {
6 memset(isprime,1,sizeof(isprime));
7 isprime[0]=isprime[1]=0;
8 int cntp=0;
9 for(int i=2;i<N;i++)
10 {
11 if(isprime[i])
12 prime[cntp++]=i;
13 //这一部分是精髓所在也是难理解的部分，不管i是否是素数，都进循环去筛，i是合数时中途会跳出，达到减少重复筛的目的
14 for(int j=0;j<cntp&&i*prime[j]<N;j++)
15 {
16 isprime[i*prime[j]]=0;
17 if(!(i%prime[j]))
18 break;
19 }
20 }
21 }
欧拉线性筛
有关因子
求因子个数
前置定理：若p是一个素数，a是一个正整数，那么有$\tau(p^a)=a+1$。
定理：若正整数n有质因数分解$n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times...\times p_k^{a_k}$，则$\tau(n)=(a_1+1)\times(a_2+1)\times...\times(a_k+1)$。
我们需要先打出一张素数表才能套用这个。
1 int factor_count(int n)
2 {
3 int ans=1;
4 int cnt;
5 int k=sqrt(n)+1;
6 for(int i=0;prime[i]<k;i++)
7 {
8 if(n%prime[i]==0)
9 {
10 cnt=0;
11 while(n%prime[i]==0)
12 {
13 cnt++;
14 n/=prime[i];
15 }
16 ans*=(cnt+1);
17 }
18 }
19 if(n>1)//这一步是因为只筛到根号n，可能会留最后一个因子，此时需要再算上这个因子
20 ans*=2;
21 return ans;
22 }
求因子个数
素因子筛
利用埃式筛法处理，复杂度O(nloglogn)
1 const int maxn=1e5+7;
2 void db()
3 {
4 vector<int> d[maxn];
5 for(int i=2;i<maxn;i++)
6 if(d[i].empty())
7 {
8 for(int j=2*i;j<maxn;j+=i)
9 d[j].push_back(i);
10 }
11 }
素因子筛
有关GCD
辗转相除法
1 long long gcd(long long a,long long b)
2 {
3 return b?gcd(b,a%b):a;
4 }
GCD
扩展欧几里得
1 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
2 {
3 if(b==0)
4 {
5 x=1,y=0;
6 return a;
7 }
8 long long gcd=exgcd(b,a%b,y,x);
9 y-=a/b*x;
10 return gcd;
11 }
exgcd
原文地址：https://www.cnblogs.com/computer-luo/p/9459404.html