【算法】主席树

这是一篇有关主席树的总结

主席树是什么？

对于原序列的每一个前缀[1···i]建立出一棵线段树维护值域上每个数出现的次数，则其树是可减的

PS：本篇随笔对于主席树的基本内容并没有深刻讲解，主要说明它的一些用法
其实就是很多一堆大量的权值线段树
（什么是权值线段树？就是每个节点维护不是位置，而是权值，比如 \([1,4]\) 维护的就是权值等于1到权值等于4的信息）
而且这些线段树还隐含了一个前缀和的功能
最简单的就是一个数列，长度为 \(n\) ，那么就建 \(n\) 棵权值线段树，第 \(i\) 棵权值线段树对应第 \(i\) 个数，存的是从第一个数到第 \(i\) 个数的信息（建第 \(i\) 棵权值线段树的时候，只要先把第 \(i-1\) 棵权值线段树复制一份，再把 \(i\) 位置上的信息加入中间就可以了）
那么我们如果要知道数列中 \(l\) 位置到 \(r\) 位置的数的信息，就只要把 \(r\) 上的权值线段树减去 \(l-1\) 的权值线段树，得到的线段树保存的就是 \(l\) 到 \(r\) 的信息（其实就是一个差分）
然后我们发现每次都新建整个权值线段树又耗时间又爆内存，并且相邻两棵线段树之间改变的只有一点点内容，其它的都没有变，那对于这些不变的节点就不新建了，直接共用，即多棵权值线段树在某个位置共用一个节点
个人认为，主席树就是共用节点的权值线段树

主席树可以用来干嘛？

主席树的所有操作，基本上都可以说是对应一段区间，那么就都要先差分一下，以下所有功能都是差分之后的

  1. 查询区间Kth（第 \(k\) 大/小）
    主席树中记录的是 \(num\) ，即每个数字出现的次数，然后每次判断当前区间的左子树的 \(num\) 是否满足条件，再决定走左子树还是右子树（极其类似于Treap）
  2. 查询区间出现数字的和
    这只要把上面的 \(num\) 变成 \(val\) ，然后把差分后根节点的 \(val\) 输出就行了
  3. 查询区间中权值在 \([l.r]\) 之间的所有数字的和
    把 \(num\) 变成了 \(val\) 后，不直接返回根节点的值，而是返回主席树上 \([l,r]\) 区间的 \(val\) 值（因为主席树是权值线段树）

暂知的作用就这几个

几个小套路

  • 如果没有修改只有询问操作，那么可以直接静态主席树。但如果有修改操作，那么就要变成动态了。也就是说我们要有一个东西，可以维护能够修改的前缀和，那就BIT（树状数组）。所以动态主席树，一般就是树状数组套主席树的树套树
  • 如果不是一个数列，而是一棵树上要维护两个节点的信息，那么就把主席树的每个版本变成从父亲继承的就行了，最后的查询就树上差分

这些套路要在题目之中去理解

几道练习题

大体上从简到难（看个人理解）

七道题，后面的神题做得心累
没有数论题好做啊

从未结束

从此，主席树的学习告一段落
HNOI就要到了，可是HNOI最喜欢考的数据结构我还有很多没搞定
下一步——LCT

原文地址：https://www.cnblogs.com/hongyj/p/8635456.html

时间： 2024-10-08 23:36:01

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