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【快速傅里叶变换】
参考：从多项式乘法到快速傅里叶变换 by miskcoo
FFT 学习笔记 by Menci
特点：FFT用于O(n log n)解决多项式乘法。
（一）多项式的表示法
系数表示法：f(x)=a[n-1]*x^(n-1)+...+a[0]，称为n-1次多项式。
点值表示法：一个n-1次多项式在复数域中有n个根，即n个(x,y)可以唯一确定一个n-1次多项式。
对于一个多项式，从其系数表示法到其点值表示法的变换称为离散傅里叶变换（DFT），反之称为傅里叶逆变换（IDFT）。
朴素的离散傅里叶变换，枚举实现的复杂度为O(n^2)。
快速傅里叶变换是指以O(n log n)的复杂度实现IDF和IDFT的算法，常用Cooley-Tukey算法。
（二）复数
复数是形如a+bi的数字，当b=0时为实数，b≠0时为虚数，a=0时为纯虚数。
定义一个平面为复平面，那么平面内的每个点(a,b)唯一对应一个复数a+bi，i可以理解为y轴上的单位长度，正如1是x轴上的单位长度。
i的本质是在数轴上定义旋转变换，i是1逆时针旋转90°，那么i^2=-1。
复数相加，遵循平行四边形定则。
复数相乘，模长相乘，幅角相加。
（三）单位根
以圆点为起点，以复平面单位圆的n等分点为终点，作n个向量，设所得幅角为正且最小的向量对应的复数为ω(1,n)，即n次单位根。（括号左为上标，右为下标）。
图片来源：其中B点是单位根ω(1,n)，逆时针依次为ω(2,n)，ω(3,n)...，ω(n,n)=ω(n,0)=1。
计算公式：ω(k,n)=cos ( 2kπ/n ) + i*sin ( 2kπ/n )
单位根的性质：
(1)消去：ω(2n,2k)=ω(n,k)
(2)折半：ω(n,k+n/2)=-ω(n,k)
将ω(n,0)~ω(n,n-1)这n个单位根作为代表n-1次多项式的n个点的横坐标，可以得到很好的性质。
（四）快速傅里叶变换（FFT解决DFA）
这部分因为不会操作数学公式，直接粘贴Menci博客QAQ。
我是图.jpg
将n-1次多项式A(x)的系数奇偶分成两个多项式A1(x)和A2(x)，则A(x)=A1(x^2)+x*A2(x^2)。
对于k<n/2，有A(ω(n,k))=A1(ω(n/2,k)) + ω(n,k)*A2(ω(n/2,k))
同时，有A(ω(n,k+n/2))=A1(ω(n/2,k)) - ω(n,k)*A2(ω(n/2,k))
对于一个k次多项式，通过奇偶分项得到两个k/2次多项式，分别计算后再调用其值解决k次多项式，即分治解决。
（五）傅里叶逆变换（IDFA）
对于n-1次多项式，其n-1维系数向量{a0,a1...an-1}通过DFA得到点值向量{b0,b1...bn-1}，反之操作称为IDFA。
将点值向量作为系数，以单位根的倒数进行FFT，得到的每个数除以n，就是IDFA的结果。
（六）迭代实现FFT
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原文地址：https://www.cnblogs.com/onioncyc/p/8410969.html