灰度直方图均衡化的算数推导

首先考虑连续函数并且让变量r表示待增强图像的灰度级。假设r被归一化到[0,1]，且r=0表示黑色，r=0表示白色。

对于连续函数，假设其变换函数为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（公式一）

在原始图像中，对于每一个r对应着一个灰度值s。其中变换函数要满足以下条件：

1. T(r)在[0,1]中为单值，且单调递增。
2. 当0<=r<=1时，0<=T(r)<=1。这样保证输出的灰度级与输入的灰度级有同样的范围。

把公式一的逆函数表示为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（公式二）

令P_r(r)和P_s(s)分别表示随机变量r和s的概率密度函数。由基本概率理论得到一个基本结果：如果P_r(r)和T(r)已知，且T^-1(s)满足条件1，则

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   （公式三）

因此，变换变量s的概率密度函数由输入图像的灰度级概率密度函数和所选择的变换函数所决定。

在图像处理中一个尤为重要的变换函数：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(公式四)

该公式为随机变量r的一个累积分布函数，因此满足条件1。同样的，区间[0,1]也满足条件2，其积分过程如下：

将这个结果代入公式三，得

P_s(s)=1

由此可以看出，公式四给出的变换函数会得到一个随机变量，其特征为一个均匀概率密度函数，与P_r(r)的函数形式是无关的。综上所述，公式四便是一个直方图均衡化的基本原理，该等式右边的意义就是随机变量r的累积分布函数。这样就转化为了求输入图像灰度级r的累积分布函数。

下面开始讨论离散函数。对于离散值，处理的是它函数概率的和，而不是概率密度函数的积分。一幅图像中灰度级r_k出现的概率近似为：

其中，n是图像中像素的总和，n_k是灰度级为r_k的像素的个数，L为图像中可能的灰度级总数。公式四中变换函数的离散形式为：

与连续形式不同，一般不能证明离散变换能产生均匀概率密度函数的离散值（为均匀直方图）。

参考地址：http://www.docin.com/p-412843638.html