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$\bf命题1：$任何实数都是某个有理数列的极限

证明：设$A$为实数,若$A$为有理数,则令

an=A,n∈N+

即可,若$A$为无理数,则令

an=[nA]n,n∈N+

其中${\left[ x \right]}$表示不超过$x$的最大整数,因此${a_n}$都是有理数.而$A$为无理数,则

nA?1<[nA]<nA,n∈N+

即

A?1n<an<A,n∈N+

从而由夹逼原理即证