poj 1061(线性同余)

青蛙的约会

Description

两 只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它 们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去， 总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙 是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的
数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。
现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

题解：设t次跳跃后想遇，我们可以列出如下式子(x + mt) % L = (y + nt) % L 然后通过化简我们可以得到如下方程 (n-m)*t+k*L = (x-y).然后我们发现这个式子就是扩展欧几里德，如果gcd(n-m,L)|(x-y)那么此式子有解，如果有解的话 设当前解为 X0，那么式子ax+by=c的通解为 {X0*c/gcd(a,b)+k*b/gcd(a,b)}(k属于整数)。此题的最小正整数解为 mod =b/gcd(a,b) t=t*(x-y)/gcd(n-m,L); t = (t%mod+mod)%mod.

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL extend_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(!b){
        x=1,y = 0;
        return a;
    }else{
        LL x1,y1;
        LL d = extend_gcd(b,a%b,x1,y1);
        x = y1;
        y = x1 - a/b*y1;
        return d;
    }
}
int main()
{
    LL x,y,m,n,L,t,k;
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L);
    LL d = extend_gcd(n-m,L,t,k);
    if((x-y)%d!=0){
        printf("Impossible\n");
    }
    else{
        t = t*((x-y)/d);
        LL mod = L/d;
        printf("%lld\n",(t%mod+mod)%mod);
    }
    return 0;
}