最短路
最短路有多种算法，常见的有一下几种：Dijstra、Floyd、Bellman-Ford，其中Dijstra和Bellman-Ford还有优化；Dijstra可以用优先队列（或者堆）优化，Bellman-Ford也可以用队列优化，通常称为spfa。下面分别对这几种算法进行说明。
Dijstra适用于没有负权边的图，Bellman-Ford适用于有负权边的图，但是不能得到有负环的图的最短距离，只能判断有没有负环。Dijstra和Bellman-Ford都是单源最短路，Floyd算法是多源最短路。
一、Dijstra算法
Dijstra算法是不断将新的距离原点最短的点加入已经得到最短距离的集合，然后每加入一个点都更新各个点到源点的距离。这里有一个问题，设已经的到最短距离的点的集合为V，如何保证已经加入V的点已经得到了最短距离而之后源点到V中的点的最短距离不会改变了呢？假设i点已经加入V，而j点后来加入V，因为所有的边权值都是正的，如果存在dis[j]+cost[j][i]<dis[i]（dis[i]表示i点到源点的距离，cost[i][j]表示i点到j点的边的权值），那么dis[j]<dis[i]，如果dis[j]<dis[i]，j点就应该先于i点加入V，与已知条件不符。所以在i点加入V之后，不会存在一个点作为中间点使得源点到i点的距离最小。
Dijstra算法的过程如下：
代码：
/*
* 单源最短路径，Dijkstra算法，邻接矩阵形式，复杂度为O(n^2)
* 求出源beg到所有点的最短路径，传入图的顶点数，和邻接矩阵cost[][]
* 返回各点的最短路径lowcost[], 路径pre[].pre[i]记录beg到i路径上的父结点， pre[beg]=-1
* 可更改路径权类型，但是权值必须为非负
*
*/
const int MAXN=1010;
#define typec int
const typec INF=0x3f3f3f3f;//防止后面溢出，这个不能太大
bool vis[MAXN];
int pre[MAXN];
void Dijkstra(typec cost[][MAXN],typec lowcost[],int n,int beg)
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
lowcost[i]=INF;
vis[i]=false;
pre[i]=-1;
}
lowcost[beg]=0;
for(int j=0;j<n;j++)
{
int k=-1;
int Min=INF;
for(int i=0;i<n;i++)
if(!vis[i]&&lowcost[i]<Min)
{
Min=lowcost[i];
k=i;
}
if(k==-1)
break;
vis[k]=true;
for(int i=0;i<n;i++)
if(!vis[i]&&lowcost[k]+cost[k][i]<lowcost[i])
{
lowcost[i]=lowcost[k]+cost[k][i];
pre[i]=k;
}
}
}
二、Dijstra+优先队列
将每次选取到达源点最近点的过程用一个优先队列代替，直接出队得到最近点和距离。但要把已经处理过的点涉及到的已经入队的略过不处理。
代码：
/*
* 使用优先队列优化Dijkstra算法
* 复杂度O(ElogE)
* 注意对vector<Edge>E[MAXN]进行初始化后加边
*/
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=1000010;
struct qnode
{
int v;
int c;
qnode(int _v=0,int _c=0):v(_v),c(_c){}
bool operator <(const qnode &r)const
{
return c>r.c;
}
};
struct Edge
{
int v,cost;
Edge(int _v=0,int _cost=0):v(_v),cost(_cost){}
};
vector<Edge>E[MAXN];
bool vis[MAXN];
int dist[MAXN];
void Dijkstra(int n,int start)//点的编号从1开始
{
memset(vis,false,sizeof(vis));
for(int i=1;i<=n;i++)
dist[i]=INF;
priority_queue<qnode>que;
while(!que.empty())
que.pop();
dist[start]=0;
que.push(qnode(start,0));
qnode tmp;
while(!que.empty())
{
tmp=que.top();
que.pop();
int u=tmp.v;
if(vis[u])
continue;
vis[u]=true;
for(int i=0;i<E[u].size();i++)
{
int v=E[tmp.v][i].v;
int cost=E[u][i].cost;
if(!vis[v]&&dist[v]>dist[u]+cost)
{
dist[v]=dist[u]+cost;
que.push(qnode(v,dist[v]));
}
}
}
}
void addedge(int u,int v,int w)
{
E[u].push_back(Edge(v,w));
}
三、Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法是对每条边进行松弛，重复|V|次，时间复杂度是O(V*E)，伪代码如下：
for(i = 0; i < |V|; i++)
for each edge(u, v) ∈ E
RELAX(u, v)
算法简单，但是实际中不被采用，因为存在大量的无效松弛。
代码：
/*
* 单源最短路bellman_ford算法，复杂度O(VE)
* 可以处理负边权图。
* 可以判断是否存在负环回路。返回true,当且仅当图中不包含从源点可达的负权回路
* vector<Edge>E;先E.clear()初始化，然后加入所有边
* 点的编号从1开始(从0开始简单修改就可以了)
*/
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=550;
int dist[MAXN];
struct Edge
{
int u,v;
int cost;
Edge(int _u=0,int _v=0,int _cost=0):u(_u),v(_v),cost(_cost){}
};
vector<Edge>E;
bool bellman_ford(int start,int n)//点的编号从1开始
{
for(int i=1;i<=n;i++)dist[i]=INF;
dist[start]=0;
for(int i=1;i<n;i++)//最多做n-1次
{
bool flag=false;
for(int j=0;j<E.size();j++)
{
int u=E[j].u;
int v=E[j].v;
int cost=E[j].cost;
if(dist[v]>dist[u]+cost)
{
dist[v]=dist[u]+cost;
flag=true;
}
}
if(!flag)
return true;//没有负环回路
}
for(int j=0;j<E.size();j++)
if(dist[E[j].v]>dist[E[j].u]+E[j].cost)
return false;//有负环回路
return true;//没有负环回路
}
四、Spfa
Spfa是Bellman-Ford算法利用队列的优化，Bellman-Ford算法存在大量的无效松弛，spfa对它进行改进，对于每个点只松弛与这个点相关的边。
代码：
/*
* 单源最短路SPFA
* 时间复杂度 0(kE)
* 这个是队列实现，有时候改成栈实现会更加快，很容易修改
* 这个复杂度是不定的
*/
const int MAXN=1010;
const int INF=0x3f3f3f3f;
struct Edge
{
int v;
int cost;
Edge(int _v=0,int _cost=0):v(_v),cost(_cost){}
};
vector<Edge>E[MAXN];
void addedge(int u,int v,int w)
{
E[u].push_back(Edge(v,w));
}
bool vis[MAXN];//在队列标志
int cnt[MAXN];//每个点的入队列次数
int dist[MAXN];
bool SPFA(int start,int n)
{
memset(vis,false,sizeof(vis));
for(int i=1;i<=n;i++)
dist[i]=INF;
vis[start]=true;
dist[start]=0;
queue<int>que;
while(!que.empty())
que.pop();
que.push(start);
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
cnt[start]=1;
while(!que.empty())
{
int u=que.front();
que.pop();
vis[u]=false;
for(int i=0;i<E[u].size();i++)
{
int v=E[u][i].v;
if(dist[v]>dist[u]+E[u][i].cost)
{
dist[v]=dist[u]+E[u][i].cost;
if(!vis[v])
{
vis[v]=true;
que.push(v);
if(++cnt[v]>n) //cnt[i]为入队列次数，用来判定是否存在负环回路
return false;
}
}
}
}
return true;
}
五、Floyd算法
Floyd算法是多源最短路，算法是将每对顶点（i，j）之间的所有其他点都进行松弛。
其状态转移方程如下： map[i,j]=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}；
代码：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define max 1000000000
int d[1000][1000],path[1000][1000];
int main()
{
int i,j,k,m,n;
int x,y,z;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++){
d[i][j]=max;
path[i][j]=j;
}
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
d[x][y]=z;
d[y][x]=z;
}
for(k=1;k<=n;k++)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(d[i][k]+d[k][j]<d[i][j]){
d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
path[i][j]=path[i][k];
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
if (i!=j) printf("%d->%d:%d\n",i,j,d[i][j]);
int f,en;
scanf("%d%d",&f,&en);
while (f!=en){
printf("%d->",f);
f=path[f][en];
}
printf("%d\n",en);
return 0;
}