ACM/ICPC算法训练 之 数学很重要-浅谈“排列计数” (DP题-POJ1037)

　　这一题是最近在看Coursera的《算法与设计》的公开课时看到的一道较难的DP例题，之所以写下来，一方面是因为DP的状态我想了很久才想明白，所以借此记录，另一方面是看到这一题有运用到 排列计数 的方法，虽然排列计数的思路简单，但却是算法中一个数学优化的点睛之笔。

　　题意：有K组数据(1~100)，每组数据给出总木棒数N(1~20)和一个排列数C(64位整型范围内)，N个木棒长度各异，按照以下条件排列，并将所有可能结果进行字典序排序
　　1.每一个木棒两侧木棒的长度都比该木棒长或者短(除该木棒在两端处外)

　　2.木棒由小到大进行排序，完成1中排列后得到的排列即为结果，将所有结果进行字典序排序。

　　现在求总木棒数为N时，排列数为C的结果。

　　大致思路：利用动态规划构造排列状态打出1~20的排列数表，然后根据排列计数的原理找到排列数为C的排列用数组存储并输出。

　　　　构造三维DP数组：dp[n][i][2]-n木棒下，最新插入的第 i 短木棒的可能方案数

　　　　　　　　数组第三维具体表述：dp[n][i][DOWN]:第 i 短木棒以下降状态插入　|　　dp[n][i][UP]:第 i 短木棒以上升状态插入

　　　　构建三维DP的状态转移方程　  dp[n][i][UP] = ∑(dp[n-1][k][DOWN]) (k = 1,2...i-1)　　//所有n-1木棒时的下降状态之和-得到n木棒时的上升状态DP值

　　　　　　　　　　　　　　　　　　dp[n][i][DOWN] = ∑(dp[n-1][k][UP]) (k = i,i+1...n-1)　　　//所有n-1木棒时的上升状态之和-得到n木棒时的下降状态DP值

　　　 　　这一题中如果我们已经知道n个木棒的排列数，我们应该如何去求第C个排列的状态呢？

　　　　难道我们要列出所有的排列状态，然后排序后去找吗，显然这是一种很愚蠢的做法，不仅代码冗长，而且耗时较长，所以这里需要我们进行查找排列数的优化。

　　　例子：

　　　　举个例子，如果我们知道1!,2!,3!,4!...的值，现在求1~5的全排列中第41个排列数是多少该怎么求呢？

　　　　其实我们可以简单想想如果第一位数是1的话，后面还有2~5总计4个数的全排列，因此首位是1的排列数有4! = 24种方案，24<41，因此首位一定不是1，

　　　　现在首位为1的情况要排除掉，我们首位从2开始，现在剩余要找到的排列数是41-24 = 17了，而首位为2的排列数也是24种，24>17，因此首位一定是2了，

　　　　首位确定了，我们就可以找第二位了，首先从1开始，后面还有三位数排列，因此排列数共3! = 6，6<17，因此第二位一定不是1了，

　　　　所以我们第二位从没有确定的3开始，现在要找寻的排列数是17-6=11....

　　　以此类推，我们就可以找到第41种排列情况是24513，这样的最坏时间度为O(n²)

　　　那么这一题也可以采用类似的简单排列计数算法

　　　最终 Code 如下：

 1 //Memory:180K Time:0 Ms
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;
 6
 7 #define MAX 21
 8
 9 enum State{
10     DOWN,    //下降状态
11     UP,        //上升状态
12 };
13
14 __int64 dp[MAX][MAX][2];    //所有状态
15 int permut[MAX];    //答案排列-permutation
16 int v[MAX];
17
18 void DP(int n)    //初始DP-dp[i][j][]-为bar共 i 个时，最新insert木棒 j 的总情况数
19 {
20     dp[1][1][DOWN] = dp[1][1][UP] = 1;
21     for (int i = 2; i <= n; i++)    //现有bar数
22         for (int j = 1; j <= i; j++)    //最新insert的bar M (第j短)
23         {
24         for (int k = j; k < i; k++)        //+all可达此上升态的上一个状态(下降)DP值(k >= j)
25             dp[i][j][UP] += dp[i - 1][k][DOWN];
26         for (int k = 1; k < j; k++)        //+all可达此下降态的上一个状态(上升)DP值(k < j)
27             dp[i][j][DOWN] += dp[i - 1][k][UP];
28         }
29     return;
30 }
31
32 void Find_permutation(int n, __int64 c)
33 {
34     memset(v, 0, sizeof(v));
35     memset(permut, 0, sizeof(permut));
36     for (int i = 1; i <= n; i++)
37     {
38         __int64 skip = 0;    //跳过方案数
39         int No = 0;
40         for (int cur = 1; cur <= n; cur++)    //第cur短的bar
41         {
42             if (!v[cur])
43             {
44                 No++;    //cur在剩余木棒中第No短
45                 if (i == 1)
46                     skip = dp[n][No][UP] + dp[n][No][DOWN];    //No==1
47                 else
48                 {
49                     //题意条件+排列计数知识
50                     if (cur > permut[i - 1] && (i == 2 || permut[i - 2] > permut[i - 1]))
51                         skip = dp[n-i+1][No][DOWN];    //前一所有下降状态-达到当前上升状态
52                     else if (cur < permut[i - 1] && (i == 2 || permut[i - 2] < permut[i - 1]))
53                         skip = dp[n-i+1][No][UP];    //前一所有上升状态-达到当前下降状态
54                 }
55                 if (skip >= c)
56                 {
57                     v[cur] = 1;
58                     permut[i] = cur;
59                     break;
60                 }
61                 else
62                     c -= skip;
63             }
64         }
65     }
66     /* PRINT */
67     for (int i = 1; i <= n; i++)
68         printf("%d ", permut[i]);
69     printf("\n");
70 }
71
72 int main()
73 {
74     int T, n;
75     __int64 c;
76
77     DP(20);
78
79     scanf("%d", &T);
80     while (T--)
81     {
82         scanf("%d%I64d", &n, &c);
83
84         Find_permutation(n, c);
85     }
86
87     return 0;
88 }

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