44. 蛤蟆的数据结构笔记之四十四弗洛伊德Floyd算法
本篇名言：“希望是厄运的忠实的姐妹。 --普希金”
我们继续来看下数据结构图中的一个算法，这个算法来自图灵奖得主。
1. Floyd算法介绍
Floyd算法又称为插点法，是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。注意这个可不是心理学的那个弗洛伊德。
是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题。
优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单。
缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。
2. 核心思路
通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。
从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。
采用的是(松弛技术)，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n^3);
其状态转移方程如下： map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}
map[i,j]表示i到j的最短距离，K是穷举i,j的断点，map[n,n]初值应该为0.当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理，比如没有map[i,k]这条路
3. 算法原理
Floyd算法的原理是动态规划。
设Di,j,k为从i到j的只以(1..k)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。
1. 若最短路径经过点k，则Di,j,k = Di,k,k ? 1 + Dk,j,k ? 1；
2. 若最短路径不经过点k，则Di,j,k = Di,j,k ? 1。
因此，Di,j,k = min(Di,k,k ? 1 + Dk,j,k ?1,Di,j,k ? 1)。
Floyd-Warshall算法的描述如下：
for k ← 1 to n do
fori ← 1 to n do
for j ← 1 to n do
if (Di,k + Dk,j < Di,j) then
Di,j ← Di,k + Dk,j;
其中Di,j表示由点i到点j的代价，当Di,j为 ∞ 表示两点之间没有任何连接。
4. 图解法
如下图1所示
点与点之间的举例用矩阵来表示。INF表示点之间不连通。
具体步骤如下图2,3
初始状态：S是记录各个顶点间最短路径的矩阵。
第1步：初始化S。
矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞。实际上，就是将图的原始矩阵复制到S中。
注:a[i][j]表示矩阵S中顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。
第2步：以顶点A(第1个顶点)为中介点，若a[i][j]> a[i][0]+a[0][j]，则设置a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。
以顶点a[1]6，上一步操作之后，a[1][6]=∞；而将A作为中介点时，(B,A)=12，(A,G)=14，因此B和G之间的距离可以更新为26。
同理，依次将顶点B,C,D,E,F,G作为中介点，并更新a[i][j]的大小。
5. 代码实现
原理什么的都抽象难懂，那么就来看下代码吧！代码其实很少的。
5.1 main
输入两个参数赋值给n和m.
m值表示输入m个值的数量。
N表示输入矩阵的大小。
将任何两个点间的最大距离设置成无限大。
输入m数值，3个值，前两个表示坐标，后一个表示值。
（如 1 0 12 表示a[1][0]=12,表示第1个点到第0个点的权值是12）
然后将矩阵 a和矩阵的对角线清零。
其中矩阵a是初始化的图，所有直接相连的顶点才有权值。
矩阵d是不断更新的图，会计算当前最新的顶点与顶点之间的最小权值，默认是所有都是无限大。
然后循环判断a[i][k]+a[k][j]<d[i][j]，如果成立说明i和j两点之间有更短路径可达，则更新d矩阵，如果该值小于a矩阵的值，a矩阵也需要更新。
最后如下图所示（是图解法中的输入，顶点0 ，1,2,3,4,5,6分别表示顶点A,B,C,D,E,F,G）
6. 源码
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define
max1000000000;
int a[1000][1000],d[1000][1000];
int main(){
inti,j,k,m,n;
intx,y,z;
printf("inputthe numbers you should to storage\n");
scanf("%d",&m);
printf("inputthe scale of your matrix\n");
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++){
a[i][j]=max;
}
for(i=0;i<m;i++){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
a[x][y]=z;
a[y][x]=z;
}
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
d[i][j]=max;
for(i=0;i<n;i++){
d[i][i]=0;
a[i][i]=0;
}
for(k=0;k<n;k++)
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++){
if(a[i][k]+a[k][j]<d[i][j]){
d[i][j]=a[i][k]+a[k][j];
if(a[i][j] > d[i][j] )
a[i][j]= d[i][j];
}
}
printf("inputthe node a & node b\n");
scanf("%d%d",&n,&m);
printf("%d",d[n][m]);
return0;
}
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