Fibonacci快速实现（优化）

斐波那契数列的通俗解法是利用递推公式进行递归求解，我们可以更优化的去解决它。

方法一：通项公式

斐波那契数列的递推公式是f(n)=f(n-1)+f(n-2)，特征方程为：x2=x+1,解该方程得(1+sqrt(5))/2,(1-sqrt(5))/2.所以f(n)=Ax1n+Bx2n,带入f(0)=0,f(1)=1得A=sqrt(5)/5,B=-sqrt(5)/5.则f(n)求出。

方法二：分治策略

可以看出斐波那契数列有如下性质：

(fn fn-1)=(fn-1 fn-2)*A,可以得出A=(1 1;1 0)

递推可得：(fn fn-1)=(fn-1 fn-2)*A=(fn-2 fn-3)*A2=…=(f1 f0)*An-1

因此问题转化为n次幂的问题，因此幂运算有这样的性质ca+b=ca*cb,而n次幂的n可以拆成二进制的加法，所以只需要lgn次遍历即可。代码如下：


1

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20

Matrix MatrixPow(const Matrix& base,int exponent)

{

    Matrix temp=base;

    Matrix result=Identity;

    for(;exponent;exponent>>=1)

    {

        if(exponent&0x1)

           result*=temp;

        temp*=temp;

    }

    return result;

}

int Fibonacci(int n)

{

     Matrix A={1,1,1,0};

     Matrix a=MatrixPow(A,n-1);

     return 1*a[0][0]+0*a[1][0];

}
时间： 2024-10-17 11:44:16

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