4.1 事件与概率
在一个黑箱中, 放着 3 个红球和 1 个白球. 我们从箱中取出一个球, 再放回去, 反复进行若干次. 每一次的结果是不确定的, 但总体上拿到红球的次数与拿到白球的次数接近 3 : 1 .
我们发现, 这类现象很常见, 那么我们就要尝试把这类现象的特点进行概括, 命名, 然后研究它的性质, 进而应用它.
概括一下这种现象: 在个别实验中其结果呈现出不确定性, 而在大量重复实验中其结果又具有统计规律性. 为了简便地称呼这种现象, 我们要给它起名字, 称之为 "随机现象" .
怎么研究一种现象?
"事实是检验真理的唯一方法." 我们要通过试验来检验真理.
这种试验称为 "随机试验" , 要满足: ①可以反复进行 ②不确定性. 它产生的现象是 "随机现象" .
为了刻画 "随机试验" , 我们需要定义一些相关的量.
对于一个量的定义, 可以有多种方法: 文字语言, 数学语言, 图像语言, 自然语言等等. 在理解上, 可以举例子.
随机试验会出现若干种结果, 某些结果有某些特性. 为了描述这种情形, 我们定义了以下. 样本空间 $U$ : 随机试验的所有结果的集合. 样本点: 一个结果. 事件: 一个子集. 事件"发生" 当且仅当 子集中的一个样本点出现. 基本事件: 单个样本点组成的集合.
给出了一个定义之后, 我们还有研究一些特殊的情况, 以细化和完善对这个定义的理解. 必然事件, 不可能事件.
接下来, 应该把事件之间的运算关系先给弄清楚.
事件的定义类比了集合的定义, 集合的运算律在事件中同样适用.
我们定义了和事件, 积事件, 互斥事件与对立事件.
和事件 $A+B$ , $A,B$ 中至少有一个事件发生.
积事件 $AB$ , $A,B$ 同时发生.
特殊地, 如果 $AB = \emptyset$ , 则称事件 $A$ , $B$ 互斥, 即 $A,B$ 不能同时发生.
再特殊地, 如果 $A$ , $B$ 互斥, $A+B = U$ , 则称 $A$ , $B$ 为对立事件.
随机试验出现每种结果的可能性不一样. 为了量化地描述这种可能性, 我们定义了频率 $\frac{N_A}{n} = \frac{出现次数}{实验次数}$ .
当实验次数非常大的时候, 频率总是接近某个常数, 并在它的周围摆动, 这个常数就是事件 $A$ 的概率 $P(A)$ . 换句话说, 概率是通过频率的极限定义的.
由此也知道, 概率的直观意义刻画了一个事件出现的可能性大小. 概率越大, 可能性越大.
现在, 我们已经引入了两个概率论的核心概念: 事件 , 概率.
接下来, 应该研究概率的性质.
概率有一堆非常直观的性质.
性质1: 非负性, $0\le P(A)\le 1$ .
性质2: 规范性. $P(不可能事件) = 0, P(必然事件) = 1$ .
性质3: 容斥性. $P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ .
性质4: 互斥事件可加性.
性质5: 独立事件可乘性. $P(AB) = P(A)P(B)$ .
能否掌握这些性质, 关键在于能不能应用, 至于过于哲学的问题暂时也没时间想了.
4.2 古典概率
$P(A) = \frac{a}{a+b}$ .