［转］树状数组的一些应用

树状数组(BIT,Binary Indexed Tree)

先上一张经典的图吧。（也是盗的，地址见水印

以下转自：http://blog.csdn.net/lawrence_jang/article/details/8054173

1.单点增减+区间求和

思路：C[x]表示该点的元素:sum(x)=C[1]+C[2]+……C[x]

int arr[MAXN];
inline int sum(int x){int res=0;while(x)res+=arr[x],x-=lowbit(x);return res;}
inline void add(int x,int n){while(x<MAXN)arr[x]+=n,x+=lowbit(x);}
inline int query(int x,int y){return sum(y)-sum(x-1);} 

2.区间增减+单点查询

思路：C[x]表示该点元素与左边元素的差值:num[x]=C[1]+C[2]+……C[x]

int arr[MAXN]
inline int sum(int x){int res=0;while(x)res+=arr[x],x-=lowbit(x);return res;}
inline void add(int x,int n){while(x<MAXN)arr[x]+=n,x+=lowbit(x);}
inline int update(int x,int y,int n){add(x,n);add(y+1,-n);}  

3.区间增减+区间查询

思路：C[x]表示该点元素与左边的差值

sum(sum(C[j],j<=i)i<=x)  =  x*C[1]+(x-1)*C[2]+……+C[x]  =  (x+1)*sum(C[i],i<=x)-sum(i*C[i],i<=x);

则可以想到用C1[x]维护C[x]的值,C2[x]维护x*C[X]的值

struct tree_array{
    struct tree_array_single{
        int arr[MAXN];
        void add(int x, int v) { while(x <= N) arr[x] += v, x += lowbit(x); }
        int sum(int x) { int sum = 0; while(x) sum+=arr[x], x-=lowbit(x); return sum; }
    } T1, T2;
    void reset() { memset(T1.arr, 0, sizeof T1.arr); memset(T2.arr, 0, sizeof T2.arr); }
    void add(int x, int v) { T1.add(x, v); T2.add(x, x*v); }
    void update(int L, int R, int v) { add(L, v); add(R+1, -v); }   // [L,R]每个点值都增加v
    int sum(int x) { return (x+1)*T1.sum(x)-T2.sum(x); }            // 前x个数的和
    int query(int L,int R) { return sum(R)-sum(L-1); }              // 区间[L,R]的和
};

4.二维：单点增减（add） + 矩形求和（query）+ 矩形增减（update）+ 单点求值（sum）

int arr[MAXN][MAXN]
inline void add(int x,int y,int v) {
    for(int i=x;i<MAXN;i+=lowbit(i))
        for(int j=y;j<MAXN;j+=lowbit(j))
            arr[i][j]+=v;
}
inline int sum(int x,int y){
    int res=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
        for(int j=y;j;j-=lowbit(j))
            res+=arr[i][j];
    return res;
}
inline int query(int L,int B,int R,int T) {
    return sum(R,T)+sum(L-1,B-1)-sum(R,B-1)-sum(L-1,T);
}
inline void update(int L,int B,int R,int T,int v){  // 左 下 右 上 要增加的值
    add(L,B,v); add(L,T+1,v); add(R+1,B,v); add(R+1,T+1,v);
} 

5.单点增减（add） + 立方体求和（query）＋ 立方体增减（update） + 单点求值（sum）

int arr[MAXN][MAXN][MAXN];
inline int sum(int x,int y,int z){
    int res=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
        for(int j=y;j;j-=lowbit(j))
            for(int k=z;k;k-=lowbit(k))
                res^=arr[i][j][k];
    return res;
}
inline void add(int x,int y,int z,int v){
    for(int i=x;i<MAXN;i+=lowbit(i))
        for(int j=y;j<MAXN;j+=lowbit(j))
            for(int k=z;k<MAXN;k+=lowbit(k))
                arr[i][j][k]+=v;
}
inline void update(int x1,int y1,int z1,int x2,int y2,int z2,int v){
    add(x1,y1,z1,v);
    add(x2+1,y1,z1,-v);add(x1,y2+1,z1,-v);add(x1,y1,z2+1,-v);
    add(x2+1,y2+1,z1,v);add(x2+1,y1,z2+1,v);add(x1,y2+1,z2+1,v);
    add(x2+1,y2+1,z2+1,-v);
}
inline int query(int x1,int y1,int z1,int x2,int y2,int z2){
    return sum(x2,y2,z2)
    -sum(x2,y2,z1-1)-sum(x2,y1-1,z2)-sum(x1-1,y2,z2)
    +sum(x2,y1-1,z1-1)+sum(x1-1,y2,z1-1)+sum(x1-1,y1-1,z2)
    -sum(x1-1,y1-1,z1-1);
}

6.RMQ

inline void init()
{
    memset(arr, 0, sizeof arr);
    for(int i=1;i<=N;++i)
        for(int j=i;j<=N&&arr[j]<num[i];j+=lowbit(j))
            arr[j]=num[i];
}
inline int query(int L,int R)
{
    int res=0;
    for(--L;L<R;){
        if(R-lowbit(R)>=L){res=max(res,arr[R]);R-=lowbit(R);}
        else{res=max(res,num[R]);--R;}
    }
    return res;
}
inline void update(int x,int val)
{
    int ori=num[x];
    num[x]=val;
    if(val>=ori)
        for(int i=x;i<=N&&arr[i]<val;i+=lowbit(i))
            arr[i]=val;
    else{
        for(int i=x;i<=N&&arr[i]==ori;i+=lowbit(i))
        {
            arr[i]=val;
            for(int j=lowbit(i)>>1;j;j>>=1)
                arr[i]=max(arr[i],arr[i-j]);
        }
    }
}