杭州电子科技大学 Online Judge 之 “杨辉三角（ID2032）”解题报告

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之 “杨辉三角（ID2032）”解题报告

巧若拙（欢迎转载，但请注明出处：http://blog.csdn.net/qiaoruozhuo）

Problem Description

还记得中学时候学过的杨辉三角吗？具体的定义这里不再描述，你可以参考以下的图形：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Input

输入数据包含多个测试实例，每个测试实例的输入只包含一个正整数n（1<=n<=30），表示将要输出的杨辉三角的层数。

Output

对应于每一个输入，请输出相应层数的杨辉三角，每一层的整数之间用一个空格隔开，每一个杨辉三角后面加一个空行。

Sample Input

2 3

Sample Output

1

1 1

1

1 1

1 2 1

算法分析：

本题可以看作是动态规划算法的简单应用。根据空间复杂度的不同，我写了4个不同的实现方法。

算法1：采用最原始的动态规划思维，用一个二维数组把杨辉三角各行元素都记录下来。从第一行开始，利用递推关系：a[i][j] =a[i-1][j-1] + a[i-1][j];
计算出下一行的元素值。

算法2：观察递推关系，注意到第i行元素值由第i-1行确定，所以没必要把每一行的元素值都记录下来，只需记录两行就够了。我们可以用两个一维数组记录杨辉三角上一行和当前输出行元素，利用递推关系：curRow[j]
=preRow[j-1] + preRow[j];计算即可。

注意，每行元素输出后要及时把curRow[j]的值复制到preRow[j]中，以便迭代计算。

算法3：进一步观察递推关系，我们发现只需用到上一行的preRow[j-1]和 preRow[j]两个元素，所以无需把整行元素都记录下来，只需用两个变量迭代记录这两个元素值就行了。

可以设置两个变量left和right，分别存储preRow[j-1]
和 preRow[j]的值，然后利用递推关系：curRow[j] = left +right;更新curRow[j]的值，并及时更新left和right的值。

算法4：算法3中之所以需要两个变量，是因为preRow[j-1]和
preRow[j]的值都被更新了，需要先把它们记录下来，才能得到curRow[j]的值。如果我们从右往左处理，那被更新的元素就只有preRow[j]，而preRow[j]由curRow[j]替代，即使被更新了也不影响推导curRow[j]的值。所以我们可以从右往左计算curRow[j]的值，这样根本无需用额外的变量来记录preRow[j-1]和
preRow[j]的值。

说明：

算法思想：动态规划。

数据结构：数组，基本数据类型。

时间复杂度：算法1O(n*n)，其他算法O(n)。

代码如下：

#include<stdio.h>
#define MAXROW 30

void Triangle_1(int row);//使用二维数组记录杨辉三角各行元素
void Triangle_2(int row);//使用两个一维数组记录杨辉三角上一行和输出行元素
void Triangle_3(int row);//使用一个一维数组和两个变量输出杨辉三角
void Triangle_4(int row);//使用一个一维数组从右往左记录杨辉三角

int main()
{
	int n;

	while (scanf("%d", &n) != EOF)
	{
		Triangle_1(n);
		printf("\n");
	}

    return 0;
}

void Triangle_1(int row)//使用二维数组记录杨辉三角各行元素
{
    int a[MAXROW+1][MAXROW+1] = {1};
    int i, j;

    for (i=1; i<=row; i++) //记录各行元素
    {
        for (j=1; j<=i; j++)
        {
            a[i][j] = a[i-1][j-1] + a[i-1][j];
            printf("%d", a[i][j]);
            if (j < i)
            	printf(" ");
        }
        printf("\n");
    }
}

void Triangle_2(int row)//使用两个一维数组记录杨辉三角上一行和输出行元素
{
    int preRow[MAXROW+1] = {0};//存储上一行元素
    int curRow[MAXROW+1] = {0};//存储输出行元素
    int i, j;

    preRow[1] = 1; //初始化数据
    for (i=1; i<=row; i++) //记录各行元素
    {
        for (j=1; j<=i; j++)
        {
            curRow[j] = preRow[j-1] + preRow[j];
        }
        for (j=1; j<=i; j++)
        {
            preRow[j] = curRow[j];
            printf("%d", curRow[j]);
            if (j < i)
            	printf(" ");
        }
        printf("\n");
    }
}

void Triangle_3(int row)//使用一个一维数组和两个变量输出杨辉三角
{
    int curRow[MAXROW+1] = {0};//存储输出行元素
    int i, j, left, right;

    curRow[1] = 1; //初始化数据
    for (i=1; i<=row; i++)
    {
    	left = 0; //初始化数据
        for (j=1; j<=i; j++)//记录输出行元素
        {
            right = curRow[j];
            curRow[j] = left + right;
            printf("%d", curRow[j]);
            if (j < i)
            	printf(" ");
            left = right;
        }
        printf("\n");
    }
}

void Triangle_4(int row)//使用一个一维数组从右往左记录杨辉三角
{
    int curRow[MAXROW+1] = {0};//存储输出行元素
    int i, j;

    curRow[1] = 1; //初始化数据
    for (i=1; i<=row; i++)
    {
        for (j=i; j>=1; j--) //从右往左记录输出行元素
        {
            curRow[j] += curRow[j-1];
        }
        for (j=1; j<=i; j++)
        {
            printf("%d", curRow[j]);
            if (j < i)
            	printf(" ");
        }
        printf("\n");
    }
}