- 二叉树的性质
- 1满二叉树和完全二叉树
- 2二叉树的主要性质
- 二叉树的数据结构
- 二叉树的算法
- 补充
- 总结
1.二叉树的性质
1.1满二叉树和完全二叉树
在一棵二叉树中,如果所有的分支节点都有左孩子和右孩子,并且叶子节点都集中在二叉树的最下一层,则这样的二叉树被称为满二叉树。
如果一棵深度为k有n个节点的二叉树进行编号后,各结点的编号与深度为k的满二叉树中相同位置山的结点的编号军相投,那么这棵二叉树就是一颗完全二叉树。
1.2二叉树的主要性质
- 总分支数=总结点数-1(这条结论对任何树都适用,不止是二叉树)
证明:在二叉树中除根节点之外,每一个结点都有唯一的一个分支指向它,由此可证。
- 非空二叉树上叶子节点数等于双分支节点数+1
证明:由上一条性质可证。设二叉树叶子节点数为n0,单分支节点数为n1,双分支节点数为n2,则总结点数为n0+n1+n2。总分支数为2*n2+n1。由上一条性质可得,n0+n1+n2-1=2*n2+n1。化简得:n0=n2+1。(注意,这种证明方法常常被用到)
- 二叉树的第i层上最多有2i-1(i>=1)个节点。
证明:等比数列。
- 高度为k的二叉树最多有2k-1(K>=1)个节点。换句话说满二叉树中前k层的结点个数为2k-1。
证明:等比数列求和问题。
- 有n个阶段的完全二叉树,对各节点从上到下,从左到右依次编号(编号范围1~n),则节点之间有如下关系。
若i为某节点a的编号,则:
如果i!=1,则双亲节点的编号为i/2向下取整。
如果2i<=n,则左孩子的编号为2i;如果2i>n,则a无左孩子。
如果2i+1<=n,则右孩子的编号为2i+1;如果2i+1>n,则a无右孩子。
这些性质中最常用的还是1-4条性质。
2.二叉树的数据结构
二叉树也有顺序存储结构和链式存储结构。顺序存储结构是用数组存储,下标遵循上面第5条性质,注意下标从1开始。链式存储结构是最常用的存储二叉树的结构,如下图所示。
其中data表示节点数据域,用与存储对应的数据元素;lchild和rchild分别表示左指针域和右指针域,分别用于存储左孩子结点和右孩子结点的位置。
定义如下:
typedef struct BTNode
{
char data;
struct BTNode *lchild;
struct BTNode *rchild;
}BTNode
3.二叉树的算法
二叉树的算法主要是遍历算法,包括深度遍历(先序遍历,中序遍历,后序遍历)和广度遍历(层次遍历)。这也是解大多数二叉树题目的关键。
三种遍历(先序遍历,中序遍历,后序遍历)代码如下
void PreOrderTraverse(BiTree T) //先序遍历
{
if(T!=NULL)
{
cout<<T->data<<" ";
PreOrderTraverse(T->lchild);
PreOrderTraverse(T->rchild);
}
}
void InOrderTraverse(BiTree T) //中序遍历
{
if(T!=NULL)
{
InOrderTraverse(T->lchild);
cout<<T->data<<" ";
InOrderTraverse(T->rchild);
}
}
void PostOrderTraverse(BiTree T) //后序遍历
{
if(T!=NULL)
{
PostOrderTraverse(T->lchild);
PostOrderTraverse(T->rchild);
cout<<T->data<<" ";
}
}
层次遍历的伪代码如下
根节点入队
while(队不空)
{
节点出队,并访问
if(左子树不为空)
左子树入队
if(右子树不为空)
右子树入队
}
c++代码如下:
void LevelOrderTraverse()
{
int front=0,rear=0; //定义循环队列
BiTNode *que[Maxsize];
front=rear;
BiTNode *q;
if(T!=NULL) //如果传过来的树不为空
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=T; //根节点入队
while (front!=rear) //队列不为空
{
front=(front+1)%Maxsize;
q=que[front]; //队头出队
cout<<q->data<<" "; //访问队头
if (q->lchild!=NULL) //如果左子树不空,则左子根入队
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->lchild;
}
if (q->rchild!=NULL) //如果右子树不空,则右子根入队
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->rchild;
}
}
}
}
这4个算法(其实只算两个)就像模板一样,大多数二叉树题目只要会套这个模板就能解决,因此它非常重要。
4.补充
下面的程序是我大二数据结构课设时写的,现在看起来有许多不足和幼稚的地方,但仍然具有一定的参考价值,将它放在这里。
#define Maxsize 100
#include<ctype.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<fstream>
#include<string>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef char TElemType;
typedef struct BiTNode
{
TElemType data;
int flag;
int layer;
struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,* BiTree;
#include "SqStack.h"
class BinaryTreeOperator // 二叉树操作类
{
public:
BiTree T;
BinaryTreeOperator()
{
InitBiTree();
}
~BinaryTreeOperator()
{
DestroyBitree(T);
}
void InitBiTree(); //初始化函数
BiTree CreatBitree(char *str1,char*str2,int i,int j,int k,int l); //根据先序和后序遍历结果建立二叉树
void DestroyBitree(BiTree T); //销毁二叉树函数
void PreOrderTraverse(BiTree T); //递归先序遍历
void InOrderTraverse(BiTree T); //递归中序遍历
void PostOrderTraverse(BiTree T); //递归后序遍历
void NOPreOrder(); //非递归先序遍历
void NOInOrder(); //非递归中序遍历
void NOPostOrder(); //非递归后序遍历
void LevelOrderTraverse(); //层次遍历
void display(BiTree T); //按二叉树形态遍历输出
int BiTreeDepth(BiTree T); //求二叉树的深度
void computelayer(); //标记二叉树的层数
int lush();
void CountLeaf(BiTree T,int &num); //数叶子
void Exchange(BiTree T); //交换左右子树
void JudgeTree(); //判断一棵是否为完全二叉树
};
BiTree BinaryTreeOperator::CreatBitree(char *str1,char*str2,int i,int j,int k,int l) //根据先序和后序遍历结果建立二叉树
{
int n;
BiTNode *p;
p = new BiTNode;
p->data=str2[l];
n=i;
for (;str1[n]!=str2[l];n++);
if (n==i)
{
p->lchild=NULL;
}
else
{
p->lchild=CreatBitree(str1,str2,i,n-1,k,k+n-i-1);
}
if (n==j)
{
p->rchild=NULL;
}
else
{
p->rchild=CreatBitree(str1,str2,n+1,j,k+n-i,l-1);
}
return p;
}
void BinaryTreeOperator::InitBiTree() //初始化二叉树
{
T = new BiTNode;
if (!T)
{
cout<<"初始化失败!"<<endl;
exit(0);
}
T->data=NULL;
T->lchild=NULL;
T->rchild=NULL;
}
void BinaryTreeOperator::DestroyBitree(BiTree T) //销毁二叉树
{
if(T!=NULL)
{
DestroyBitree(T->lchild);
DestroyBitree(T->rchild);
delete T;
}
}
void BinaryTreeOperator::PreOrderTraverse(BiTree T) //递归先序遍历
{
if(T!=NULL)
{
cout<<T->data<<" ";
PreOrderTraverse(T->lchild);
PreOrderTraverse(T->rchild);
}
}
void BinaryTreeOperator::InOrderTraverse(BiTree T)//递归中序遍历
{
if(T!=NULL)
{
InOrderTraverse(T->lchild);
cout<<T->data<<" ";
InOrderTraverse(T->rchild);
}
}
void BinaryTreeOperator::PostOrderTraverse(BiTree T)//递归后序遍历
{
if(T!=NULL)
{
PostOrderTraverse(T->lchild);
PostOrderTraverse(T->rchild);
cout<<T->data<<" ";
}
}
void BinaryTreeOperator::NOPreOrder() //非递归先序遍历
{
if (T!=NULL)
{
BiTNode * p;
SqStack S;
InitStack(S);
Push(S,T);
while (!StackEmpty(S))
{
Pop(S,p);
cout<<p->data<<" ";
if (p->rchild!=NULL)
{
Push(S,p->rchild);
}
if (p->lchild!=NULL)
{
Push(S,p->lchild);
}
}
}
}
void BinaryTreeOperator::NOInOrder() //非递归中序遍历
{
if (T!=NULL)
{
BiTNode * p;
SqStack S;
InitStack(S);
Push(S,T);
while (!StackEmpty(S))
{
while (GetTop(S,p)&&p)
{
Push(S,p->lchild);
}
Pop(S,p);
if (!StackEmpty(S))
{
Pop(S,p);
cout<<p->data<<" ";
Push(S,p->rchild);
}
}
}
}
void BinaryTreeOperator::NOPostOrder() //非递归后序遍历
{
BiTNode *t;
BiTNode *p;
BiTNode *s;
SqStack Stack;
InitStack(Stack);
t=T;
p=T;
while(t) //让其一直往左走,并入栈
{
t->flag=0; //做好标志位,0表示右指数未访问,1表示右指数被访问
Push(Stack,t);
t=t->lchild;
}
while (!StackEmpty(Stack))
{
s=GetTop(Stack);
if(s->rchild==NULL||s->flag==1) //如果右指数为空或标志位为1则出栈并输出
{
Pop(Stack,p);
cout<<p->data<<" ";
}
else //并对右子树做相同的操作
{
s->flag=1;
p=s->rchild;
while (p!=NULL)
{
p->flag=0;
Push(Stack,p);
p=p->lchild;
}
}
} //无需管入栈的,因为下一轮循环会处理好
}
void BinaryTreeOperator::LevelOrderTraverse() //层次遍历
{
int front=0,rear=0;
BiTNode *que[Maxsize];
front=rear;
BiTNode *q;
if(T!=NULL) //如果传过来的树不为空
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=T; //根节点入队
while (front!=rear) //队列不为空
{
front=(front+1)%Maxsize;
q=que[front]; //队头出队
cout<<q->data<<" "; //访问队头
if (q->lchild!=NULL) //如果左子树不空,则左子根入队
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->lchild;
}
if (q->rchild!=NULL) //如果右子树不空,则右子根入队
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->rchild;
}
}
}
}
void BinaryTreeOperator::display(BiTree T) //利用层数,横向打印
{
int i;
if (T==NULL)
{
return;
}
display(T->rchild);
for (i=1;i<T->layer;i++)
{
cout<<" ";
}
cout<<T->data<<endl;
display(T->lchild);
}
int BinaryTreeOperator::BiTreeDepth(BiTree T) //计算二叉树深度
{
int L,R;
if(T==NULL)
return 0;
else
{
L=BiTreeDepth(T->lchild);
R=BiTreeDepth(T->rchild);
return (L>R?L:R)+1;
}
}
void BinaryTreeOperator::computelayer() //计算层数
{
int front=0,rear=0;
BiTNode *que[Maxsize];
front=rear;
BiTNode *q;
if(T!=NULL) //如果传过来的树不为空
{
T->layer=1;
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=T; //根节点入队
while (front!=rear) //队列不为空
{
front=(front+1)%Maxsize;
q=que[front]; //队头出队
if (q->lchild!=NULL) //如果左子树不空,则左子根入队
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->lchild;
que[rear]->layer=q->layer+1; //计算一下层数
}
if (q->rchild!=NULL) //如果右子树不空,则右子根入队
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->rchild;
que[rear]->layer=q->layer+1; //计算一下层数
}
}
}
}
void BinaryTreeOperator::CountLeaf(BiTree T,int &num) //数叶子节点个数
{
if(T!=NULL)
{
if (T->lchild==NULL&&T->lchild==NULL)
{
num++;
}
CountLeaf(T->lchild,num);
CountLeaf(T->rchild,num);
}
}
void BinaryTreeOperator::Exchange(BiTree T) //交换左右子树
{
if(T!=NULL)
{
BiTNode * p;
p=T->lchild;
T->lchild=T->rchild;
T->rchild=p;
Exchange(T->lchild);
Exchange(T->rchild);
}
}
void BinaryTreeOperator::JudgeTree() //判断是否是完全二叉树
{
int front=0,rear=0;
BiTNode *que[Maxsize];
front=rear;
BiTNode *q;
int flag=0;
if(T!=NULL) //如果传过来的树不为空
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=T; //根节点入队
while (front!=rear) //队列不为空
{
front=(front+1)%Maxsize;
q=que[front]; //队头出队
if (q==NULL)
{
while (front!=rear)
{
front=(front+1)%Maxsize; //根据完全二叉树的性质,层次遍历中若出现空节点后面出现其他节点则不是完全二叉树
if (que[front]!=NULL)
{
flag=1;
}
}
}
else
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->lchild;
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->rchild;
}
}
}
if (flag==1)
{
cout<<"不是完全二叉树!"<<endl;
}
else
{
cout<<"是完全二叉树!"<<endl;
}
}
int BinaryTreeOperator::lush() //计算繁茂度
{
computelayer(); //将层数标记好
int C[10]={0};
int max;
int front=0,rear=0;
BiTNode *que[Maxsize];
front=rear;
BiTNode *q;
if(T!=NULL) //如果传过来的树不为空
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=T; //根节点入队
while (front!=rear) //队列不为空
{
front=(front+1)%Maxsize;
q=que[front]; //队头出队
C[q->layer]++; //入队的时候对层数进行累加
if (q->lchild!=NULL) //如果左子树不空,则左子根入队
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->lchild;
}
if (q->rchild!=NULL) //如果右子树不空,则右子根入队
{
rear=(rear+1)%Maxsize;
que[rear]=q->rchild;
}
}
}
max=C[1];
for (int i=2;i<=q->layer;i++)
{
if (C[i]>max)
{
max=C[i];
}
}
return max*BiTreeDepth(T);
}
int main()
{
int i=0,j=20,k=0,l=20;
int choice;
bool loop=true;
BinaryTreeOperator Tree;
char str1[81];
char str2[81];
int num=0;
fstream Bitreef("Bitree.txt",ios::in);
if (!Bitreef)
{
cout<<"打开Bitree.txt文件失败"<<endl;
exit(0);
}
Bitreef.getline(str1,81);
Bitreef.getline(str2,81);
while(loop)
{
cout<<" ***************二叉树应用****************\n";
cout<<" * 1.建立二叉树 *\n";
cout<<" * 2.递归先序遍历 *\n";
cout<<" * 3.递归中序遍历 *\n";
cout<<" * 4.递归后序遍历 *\n";
cout<<" * 5.非递归先序遍历 *\n";
cout<<" * 6.非递归中序遍历 *\n";
cout<<" * 7.非递归后序遍历 *\n";
cout<<" * 8.层次遍历 *\n";
cout<<" * 9.按形态输出 *\n";
cout<<" * 10.二叉树的深度 *\n";
cout<<" * 11.二叉树的繁茂度 *\n";
cout<<" * 12.叶子数目 *\n";
cout<<" * 13.交换左右子树 *\n";
cout<<" * 14.判断是否为完全二叉树 *\n";
cout<<" * 15.退出程序 *\n";
cout<<" *****************************************\n";
cin>>choice;
switch(choice)
{
case 1:
Tree.T=Tree.CreatBitree(str1,str2,i,j,k,l);
break;
case 2:
Tree.PreOrderTraverse(Tree.T);
cout<<endl;
break;
case 3:
Tree.InOrderTraverse(Tree.T);
cout<<endl;
break;
case 4:
Tree.PostOrderTraverse(Tree.T);
cout<<endl;
break;
case 5:
Tree.NOPreOrder();
cout<<endl;
break;
case 6:
Tree.NOInOrder();
cout<<endl;
break;
case 7:
Tree.NOPostOrder();
cout<<endl;
break;
case 8:
Tree.LevelOrderTraverse();
cout<<endl;
break;
case 9:
Tree.computelayer();
Tree.display(Tree.T);
break;
case 10:
cout<<"二叉树的深度是:"<<Tree.BiTreeDepth(Tree.T)<<endl;
break;
case 11:
cout<<"二叉树的繁茂度是:"<<Tree.lush()<<endl;
break;
case 12:
num=0;
Tree.CountLeaf(Tree.T,num);
cout<<"二叉树的叶子数是:"<<num<<endl;
break;
case 13:
Tree.Exchange(Tree.T);
break;
case 14:
Tree.JudgeTree();
break;
case 15:
loop=false;
break;
}
}
return 0;
}
5.总结
二叉树的题目,大多通过深搜和广搜来解决。能理解其中的思想才是关键。比如在深搜的时候,要理解什么时候往下走(递归开始进入左右子树时),什么时候往上走(递归左右子树完成后)。能动态的理解整个搜索的过程(对于二叉树图能画出遍历过程)对解题将会有很大的帮助。