数组a中含有N个元素，其元素属于[0，N]之间，且不存在重复的元素，请你找出数组中缺失的元素(因为[0，N]之间有N+1个元素，而数组只能存储N个元素，所以必然缺少一个元素)。其中对数组的操作满足下列的条件：不能在常数时间内读取数组中的元素，但是可以读取数组中元素的某一个bit值，能够在常数时间内交换数组的两个元素的位置。请设计一种算法使其能够在线性时间内找出数组中缺失的元素。(N=2^k)
An array a[] contains all of the integers from 0 to N, except 1. However, you cannot access an element with a single
operation. Instead, you can call get(i, k) which returns the kth bit of a[i] or you can call swap(i, j) which
swaps the ith and jth elements of a[]. Design an O(N) algorithm to find the missing integer. For simplicity, assume N is a power of 2
算法设计：有题设可知，[0,N]之间奇数和偶数个数之差等于1，如果缺失偶数，则奇数和偶数的数目相等，反之缺失奇数。如何判断元素的奇偶呢？题设给出只能在常数时间内访问数组元素的某个bit值，所以只需看元素的最后一个bit为0还是1即可，这样通过一次扫描数组可以排除n/2个元素。利用此法(判断0,1个数的多少)我们就可以找出缺失的元素。重复上述操作即可。
算法性能分析：
第一次扫面元素判断奇偶，需要循环n次，从而排除n/2个元素，因此第二次循环需要循环n/2次，一次类推，总共的循环次数为T
T=n+n/2+n/4+n/8+……+1=O(n)，为此达到了题目的要求。
算法实现：
<span style="font-size:10px;">void swap(int* a, int i, int j)
{
int temp = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = temp;
}
int get(int* a, int i, int k)
{
int res = a[i]>>k & 1;
return res;
}
int Find_the_missing_integer(int* a, int low, int high)
{
int res = 0;
int power = 1;
int count0 = 0;
int count1 = 0;
int n = high-low+1;
int pointer0 = 0;
int i=0;
while(n>0)
{
for(int j=low; j<=high;j++)
{
if(get(a,j,i) == 0)
{
count0++;
swap(a,j,pointer0);
pointer0++;
}
else
{
count1++;
}
}
if(count0>count1)
{
res = res + power*1;
low = pointer0;
n = count1;
}
else
{
res = res + power*0;
high = pointer0 - 1;
pointer0 = low;
n = count0;
}
power = power*2;
count0 = 0;
count1 = 0;
i++;
}
return res;
}</span>
算法解释：find_the_missing_intger，函数中利用pointer记录最后一个元素的0还是1的分界点，然后每次都循环扫面满足我们要求的那一部分元素，直到最终没有元素位置。
测试代码：
#include <iostream>
using namespace std;
void swap(int* a, int i, int j);
int get(int* a, int i, int k);
int Find_the_missing_integer(int* a, int low, int high);
void main()
{
int a[]={1,2,3,4,5,6,7,0};
cout<<Find_the_missing_integer(a,0,7);
}
如有不清楚的地方欢迎讨论。