质数测试

费马小定理：对于质数p和任意整数a，有a^p ≡ a(mod p)(同余)。反之，若满足a^p ≡ a(mod p)，p也有很大概率为质数。 将两边同时约去一个a，则有a^(p-1) ≡ 1(mod p)

也即是说：假设我们要测试n是否为质数。我们可以随机选取一个数a，然后计算a^(n-1) mod n，如果结果不为1，我们可以100%断定n不是质数。

否则我们再随机选取一个新的数a进行测试。如此反复多次，如果每次结果都是1，我们就假定n是质数。

该测试被称为Fermat测试。需要注意的是：Fermat测试不一定是准确的，有可能出现把合数误判为质数的情况。

Miller和Rabin在Fermat测试上，建立了Miller-Rabin质数测试算法。

与Fermat测试相比，增加了一个二次探测定理：

如果p是奇素数，则 x^2 ≡ 1(mod p)的解为 x ≡ 1 或 x ≡ p - 1(mod p)

如果a^(n-1) ≡ 1 (mod n)成立，Miller-Rabin算法不是立即找另一个a进行测试，而是看n-1是不是偶数。如果n-1是偶数，另u=(n-1)/2，并检查是否满足二次探测定理即a^u ≡ 1 或 a^u ≡ n - 1(mod n)。

举个Matrix67 Blog上 的例子，假设n=341，我们选取的a=2。则第一次测试时，2^340 mod 341=1。由于340是偶数，因此我们检查2^170，得到2^170 mod 341=1，满足二次探测定理。同时由于170还是偶数，因此我们进一步检查2^85 mod 341=32。此时不满足二次探测定理，因此可以判定341不为质数。

将这两条定理合起来，也就是最常见的Miller-Rabin测试。

但一次MR测试仍然有一定的错误率。为了使我们的结果尽可能的正确，我们需要进行多次MR测试，这样可以把错误率降低。