自然数e这家伙怎么蹦跶出来的？

之前看过一篇中文介绍自然数e的blog，引起了我的兴趣

原文是阮一峰大牛(我觉得必须非常有必要尊敬的称，大牛)嚼烂了吐出来的哈哈，不过我觉得还是自己去看原文比较好

感觉很总要的还是原文，“读后感”这种东西还是有点别扭

下面是link，直接戳就是了。文章的作者有视频的，某个比较特殊的网站，想办法找到吧。我觉得还是不方便说。。呵呵。。。。我怕查水表。我是好人

An Intuitive Guide To Exponential Functions & e

接下来，写我的“读后感”。

这年头，太多的家伙涉及e——这个很特殊又常见的自然数。欧拉公式，傅立叶变换，laplace变换，某些特殊的表达式求极限etc

然后，这个数怎么来的呢？

为什么会特殊把这个数标记为e呢？

一句话，这家伙怎么来的？

先说说 π 3.14。。。这家伙是圆的周长和直径的比值，对于任何圆形都适用。

我们于是定义了pi这个数，用π这个符号来作为标记。

Pi is the ratio between circumference and diameter shared by all circles

那么e呢？e也是一个标记。

e is the base rate of growth shared by all continually growing processes.

e是最基础的增长速率，适用于所有的连续增长模型。

So e is not an obscure, seemingly random number.e represents the idea that all continually growing systems are scaled versions of a common rate.

e这个数也并不晦涩。它表示一个想法，所有的增长系统都可以用这个e来刻画(。。。如果没看懂就跳过，回过头看这句话就会明白的)

连续的系统一开始理解可能有困难，我们采用先离散化，然后无穷逼近连续的思想来分析e的来源。

比方说随着时间倍增增长模型(2^n)

0时刻初始元素个数只有1个，时刻1的时候，经过倍增，变成2，同理，时刻2变成4，时刻3变成8

figure 1

当前时刻的元素总个数 = 2^n (1)

把上面的公式稍稍变形一下

当前时刻的元素总个数 = (1+100%)^n (2)

其实就相当于当前的增长率是100%,注意这里增长率这个概念！100%的增长率，n是增长的周期次数

我们再看另外一个问题，

money的增长问题

假如你有一块钱放在银行里面，增长率是100%(世界上没有银行这么蠢100%。。。呵呵。。仅仅关注问题的解释就好。。。)

你得到的钱 = 本金*(1+100%)^n

一开始你有1块钱，于是1*(1+100%)^0 = 1,你没放银行里面去的时候，1块没变多。当你存入这家银行，并且经过了1年之后，1*(1+100%)^1 =2, 哇塞！变2元了！

figure 2

你的钱貌似在银行里在这一年内就像是线性增长一样

换句话说，在这一年里，你的钱= 1+1* [ (时间)/12个月] 是这样增长的，第一个月是1+1*1/12 ，第二个月是1+1*2/12 ，第六个月是1+1*6/12 == 1 + 0.5 == 1.5

第12个月是1+1*12/12 == 1+1 == 2

figure 3

但试想一下，“钱是可以赚钱的”, 如果你在第六个月的时候可以获得1.5元，那么多出来的0.5元也是能帮你挣钱的！

你的挣钱

第7个月就应该是 1+1*(7/12) + 0.5*[(7-6)/12]

第12个月就应该是 1+1*(12/12)+0.5*(12-6)/12 == 1+1+0.25 !!!

figure 4

这就相当于

你的钱 = 本金*(1+50%)*(1+50%) = 1*(1+50%)*(1+50%) = 1*(1+100% / 2)^2

细心的人总觉得有点奇怪，这里为什么就是50%呢？这里其实是离散对于连续的一次逼近。

难道6月之前就不会有多出来的钱可以挣钱？这里仅仅是选取的6月这个比较特殊的点而已，它是等分这一年的。

比方说我选取4月(这样更加逼近1月份，并且不是等分一年)

按照线性增长的，四月可以得到的钱 = 1+1*(4/12)

于是12月可以得到的钱 = 1+ 1*(12/12)+1*(4/12)*[(12-4)]/12

这样你就意识到，咦，之前的钱也是可以挣钱的！

等分有一个很好的性质，就是这里的增长率和增长次数是有关系的

你拿到的钱 = 本金*(1+100%/等分的次数n)^n

可以很好的把等分的次数，增长的次数，以及增长率联系起来！

(1+1/n)^n

是时候把时间段分的更加细了！

这里采用了3等分的方式

于是有(1+1/3)^3

有意思了，这样 1+一个大于0 的数，然后用幂函数作用.得到的结果是随着n增大！

n          (1 + 1/n)^n
------------------
1          2
2          2.25
3          2.37
5          2.488
10         2.5937
100        2.7048
1,000      2.7169
10,000     2.71814
100,000    2.718268
1,000,000  2.7182804

更有意思了！随着n的增大 (1+1/n)^n,但是增大到2.7182左右的时候，随着n继续增大，(1+1/n)^n都不再有明显的增长

这里我们发现了一个很“神奇”的现象

当由离散趋向于连续的过程中(n越来越大，等分的程度越来越高，越来越逼近连续)

可以发现，对于连续增长模型，它的增长极限是一个常数，于是，我们找到了这个数，于是找个符号标记这家伙！

它就是e！！！

In geeky math terms,

e is defined to be that rate of growth if we continually compound 100%

return on smaller and smaller time periods

But what does it all mean?

The number e (2.718…) is the maximum possible result when compounding 100% growth for one time period. Sure, you started out expecting to grow from 1 to 2 (that’s a 100% increase, right?). But with each
tiny step forward you create a little dividend that starts growing on its own. When all is said and done, you end up with e (2.718…) at the end of 1 time period, not 2. e is the maximum, what happens when we compound 100% as much as possible.

e是当100%增长率的单位周期增长模型是连续增长的时候，最大的可能增长结果。由1增长到2，这里是离散的100%增长。但是你把时间划分的更加细，由离散逼近于连续的时候，你将会发现，增长结果不会是无穷大或者某个不确定的值，而是一个确定的值，2.718....这就是e，e是当100%增长率的单位周期增长模型是连续增长的时候，最大的可能增长结果。

So, if we start with $1.00 and compound continuously at 100% return we get 1e. If we start with $2.00, we get 2e. If we start with $11.79, we get 11.79e.

1块钱在100%增长率的银行里面也不会经过一年就会得到无穷money。。。

e is like a speed limit (like c, the speed of light) saying how fast you can possibly grow using a continuous process. You might not always reach the speed limit, but it’s a reference point: you can write every rate
of growth in terms of this universal constant.

e就像是一个极限速度，就像光速c一样！e表明对于连续增长模型中，最大的可能输出

上帝啊！这个发现和测出光速一样伟大！

这个常数有啥用？这个常数是一个极限，光速是c，100m/s 可以表示为 [100/(3*10^8)] *c ! 这里[100/(3*10^8)]是一个常数。那么可以说明一个问题，任意的速度都可以用c来表示。对于增长速率呢？同样的，所有增长速率带来的输出都可以用这个e乘以一个独一无二的常数表示！

(Aside: Be careful about separating theincrease from the finalresult. 1 becoming e (2.718…) is anincrease (growth rate) of 171.8%. e, by itself, is the finalresult
you observe after all growth is taken into account (original + increase)).

对于不同的增长率(不同于100%)都可以用e来表示！

之前我们是(1+100%/n)^n的模型

如果不是100%呢？

比方说50%(随便一个增长率就行)

(1+50% / n)^n == (1+100%/2*n)^n == sqrt((1+100%/2n)^2n)

对于任意增长率 x > 1 == 1/x <1

(1+(1/x) /n)^n == (1+(1/xn))^n == ｛(1+(1/xn))^xn 开x次方｝

不同的增长率都可以用e来表示

怎样来刻画不同增长速率带来的增长结果（e^x）呢？

如果增长率是50%, 我们需要把e ^1变换成 e^0.5

这里是一个周期的增长结果

如果把50%增长率由一个周期作用到4个周期呢？

这是一个周期的(1+1/2n)^n

四个周期的话就是连续增长4周期，于是 [ (1+1/2n)^n ] ^4 == (1+(1/2n)^4n) == (1+(1/2n)^2n)^2 == e^2 == (e^0.5)^4

x意味着两件事情：

第一和增长率有关系

第二和增长周期次数有关系

有，e^x == e^(增长率*增长周期次数) [ 例如，(e^0.5)^4]

the variable x is a combination of rate and time.

x = rate * time

So, our general formula becomes:

growth = e^x = e^(r*t)

If we have a return of r for
t time periods, our net compound growth is e^rt. This even works for negative and fractional returns, by the way.