这篇文章为大家梳理一下整个蒙哥马利算法的本质，蒙哥马利算法并不是一个独立的算法，而是三个相互独立又相互联系的算法集合，其中包括
- 蒙哥马利乘模，是用来计算x?y (mod N)
- 蒙哥马利约减，是用来计算t?ρ?1 (mod N)
- 蒙哥马利幂模，是用来计算xy (mod N)
其中蒙哥马利幂乘是RSA加密算法的核心部分。
基本概念
梳理几个概念，试想一个集合是整数模N之后得到的
ZN={0,1,2,?,N?1}
注：N在base-b进制下有lN位。 比如10进制和100进制，都属于base-10进制，因为100=102，所以b=10。在10进制下，667的lN=3
这样的集合叫做N的剩余类环，任何属于这个集合Z的x满足以下两个条件：
1. 正整数
2. 最大长度是lN
这篇文章中讲到的蒙哥马利算法就是用来计算基于ZN集合上的运算，简单讲一下原因，因为RSA是基于大数运算的，通常是1024bit或2018bit，而我们的计算机不可能存储完整的大数，因为占空间太大，而且也没必要。因此，这种基于大数运算的加密体系在计算的时候都是基于ZN集合的，自然，蒙哥马利算法也是基于ZN。
在剩余类环上，有两种重要的运算，一类是简单运算，也就是加法和减法，另一类复杂运算，也就是乘法。我们比较熟悉的是自然数集上的运算，下面看下怎么从自然数集的运算演变成剩余类环上的运算。
对于加法运算，如果计算x±y (mod N) (0?x,y<N)，试想自然数集上的 x±y
0?x+y?2?(N?1)
?(N?1)?x?y?(N?1)
我们可以简单的通过加减N来实现从自然数到剩余类集的转换
另外一类是乘法操作，也就是x?y (mod N)(0?x,y<N)，那么
0?x?y?(N?1)2
如果在自然数集下，令t=x?y，那么对于modN我们需要计算
t?（N??tN?）
加减操作很简单，具体的算这里就不细说了，我们用ZN?ADD 来代表剩余类环上的加法操作。既然我们可以做加法操作，那么我们就可以扩展到乘法操作，算法如下
但是这并不是一个好的解决方案，因为通常来说，我们不会直接做w位乘w位的操作，这个后面会用蒙哥马利的乘法来代替解决。
对于取模操作，一般有以下几种方法
1，根据以下公式，来计算取模操作
t?（N??tN?）
这种解法有以下特征
- 整个计算过程是基于标准的数字表示
- 不需要预计算（也就是提前计算一些变量，以备使用）
- 涉及到一个除法操作，非常费时和复杂
2，用Barrett reduction算法，这篇文章不细说，但是有以下特征
- 基于标准的数字表示
- 不需要预计算
- 需要2?(lN+1)?(lN+1) 次数乘运算
3，用蒙哥马利约减，也就是下面要讲的算法，有以下特征
- 不是基于标准的数字表示（后文中有提到，是基于蒙哥马利表示法）
- 需要预计算
- 需要2?(lN)?(lN) 次数乘运算
蒙哥马利预备知识
在将蒙哥马利算法之前，先看一下在自然数下的乘法公式
计算x?y，想象一下我们常用的计算乘法的方法，用乘数的每一位乘上被乘数，然后把得到的结果相加，总结成公式，可以写成如下的形式。
x?y=x?sumly?1i=0yi?bi
=sumly?1i=0yi?x?bi
尝试下面一个例子，10进制下（也就是b=10），y=456（也就是ln=3），计算x?y，公式可演变如下：
x?y=(y0?x?100)+(y1?x?101)+(y2?x?102)
=(y0?x?0)+(y1?x?10)+(y2?x?100)
=(y0?x)+10?(y1?x+10?(y2?x?+10?(0)))
最后一次演变其实就是用霍纳法则(Horner’s rule)所讲的规则，关于霍纳法则，可以自行百度。
这个计算过程写成代码实现的算法应该是这样的：
接下来我们来看下面这样的计算，计算(x?y)/1000，由前面可以知道
x?y=(y_0?x)+10?(y_1?x+10?(y_2?x?+10?(0)))
由此可以知道：
x?y1000=(y0?x?100)+(y1?x?101)+(y2?x?102)1000
=(y0?x?0)+(y1?x?10)+(y2?x?100)1000
=(y0?x)1000+(y1?x)100+(y2?x)10
=(((((y0?x)/10)+y1?x)/10)+y2?x)/10
这个计算过程写成代码实现的算法是这样的：
接下来我们再来看在剩余类集合下的乘法操作 x?y/1000 (mod 667)
我们知道剩余类集合Z667={0,1?666}，是不存在小数的，而如果我们采用自然数集的计算方式的话，就会出现小数，比如前面的例子，除10就会有小数。
这个问题是这样的，我们知道u·667≡0(mod667)（≡表示取模相等），所以我们可以选择一个合适的u，用u乘667再加上r，使得和是一个可以除10没有小数，这样在mod 667之后依然是正确的结果。至于u怎么算出来，这篇文章会在后面的章节说明。
这个过程之后x?y/1000 (mod 667) 的计算算法可以写成如下的形式
至此，你可能还不明白上面说这一堆演变的原因，其实很简单，原来是一个(x?y) (mod 667)的运算，这个运算中的模操作，正常情况下是要通过除法实现的，而除法是一个特别复杂的运算，要涉及到很多乘法，所以在大数运算时，我们要尽量避免除法的出现。而通过以上几个步骤，我们发现(x?y)/1000 (mod 667)这个操作是不用除法的。等等，算法中明明有个除10的操作，你骗谁呢。不知道你有没有发现，除数其实是我们的进制数，除进制数在计算机中是怎么做呢，其实很简单，左移操作就ok了。所以这个计算方法是不涉及到除法操作的。
但是我们要计算的明明是(x1?y1) (mod 667)，怎么现在变成了(x2?y2)/1000 (mod 667)，所以在下一步，我们要思考的是怎么样让(x1?y1) (mod 667)转变成(x2?y2)/1000 (mod 667)这种形式。
考虑这样两个算法
- 第一个是输入x和y，计算x?y?ρ?1
- 第二个算法，输入一个t，计算t?ρ?1。
x?y (mod 667)=((x?1000)?(y?1000)/1000)/1000 (mod 667)
是不是变成了我们需要的(x?y)/1000 (mod 667)模式，而且这个转变过程是不是可以通过上面两个算法来实现，输入值如果是(x?1000)和(y?1000)，则通过第一个算法可以得到((x?1000)?(y?1000)/1000)，把结果作为第二个算法的输入值，则通过第二个算法可以得到((x?1000)?(y?1000)/1000)/1000。
扯了一大顿，终于引出了今天文章的主角，前面讲到的两个算法，第一个就是蒙哥马利乘模，第二个就是蒙哥马利约减。下面我们来讲这两个算法的详解。
正如前面提到的蒙哥马利算法的三个特性之一是，不是基于普通的整数表示法，而是基于蒙哥马利表示法。什么是蒙哥马利表示法呢，其实也很简单，上面我们提到，要让(x1?y1) (mod 667)转变成(x2?y2)/1000 (mod 667)这种形式，我们需要将输入参数变成(x?1000)和(y?1000)，而不是x和y本身，而(x?1000)和(y?1000) 其实就是蒙哥马利表示法。
所以我们先定义几个概念：
- 蒙哥马利参数
给定一个N，N在b进制（例如，二进制时，b=2）下共有l位，gcd(N,b)=1，先预计算以下几个值(这就是前面提到的特性之一，需要预计算）：
-
- ρ=bk 指定一个最小的k，使得bk>N
-
- ω=?N?1(mod ρ)
这两个参数是做什么用的呢，你对照前面的演变过程可以猜到ρ 就是前面演变中的1000，而ω 则是用来计算前面提到的u的。
- ω=?N?1(mod ρ)
- 蒙哥马利表示法
对于x，0?x?N?1，x的蒙哥马利表示法表示为x=x?ρ (mod N)
蒙哥马利约减
蒙哥马利约减的定义如下
给定一些整数t，蒙哥马利约减的计算结果是t?ρ?1 (mod N)
蒙哥马利约减的算法可表示为
蒙哥马利约减可以算作是下面要说的蒙哥马利模乘当x=1时的一种特殊形式，。同时它又是蒙哥马利乘模要用到的一部分，这在下一部分讲蒙哥马利乘模的时候有讲到。
蒙哥马利约减可以用来计算某个值得取模操作，比如我们要计算m(mod N)，只需要将m
的蒙哥马利表示法m?ρ作为参数，带入蒙哥马利约减，则计算结果就是m(mod N)。
蒙哥马利乘模
一个蒙哥马利乘模包括整数乘法和蒙哥马利约减，现在我们有蒙哥马利表示法：
x? =x?ρ (mod N)
y? =y?ρ (mod N)
它们相乘的结果是
t=x? ?y?
=(x?ρ)?(y?ρ)
=(x?y)?ρ2
最后，用一次蒙哥马利约减得到结果
t? =(x?y)?ρ (mod N)
上面我们可以看出，给出的输入参数是x? 和y? ， 得到的结果是(x?y)?ρ (mod N)，所以蒙哥马利乘法也可以写成如下形式，已知输入参数x和y，蒙哥马利乘法是计算(x?y)?ρ?1 (mod N)
举个例子：
b=10，也就是说在10进制下，N=667
让bk>N的最小的k是3，所以ρ=bk=103=1000
ω=?N?1 (mod ρ)=?667?1 (mod ρ)=997
因为x=421，所以x? =x?ρ(mod N)=421?1000(mod 667)=123
因为y=422，所以y? =y?ρ(mod N)=422?1000(mod 667)=456
所以计算x? 和y? 蒙哥马利乘结果是
x? ?y? ?ρ?1=(421?1000?422?1000)?1000?1 (mod 667)
(421?422)?1000 (mod 667)
(240)?1000 (mod 667)
547 (mod 667)
然后总结一下蒙哥马利约减和蒙哥马利乘法的伪代码实现，这个算法其实就是从蒙哥马利预备知识讲到的算法演变来的。
上面的例子用这个算法可以描述为
蒙哥马利算法是一套很完美的算法，为什么这么说呢，你看一开始已知x，我们要求x? =x?ρ，这个过程可以通过蒙哥马利乘法本身来计算，输入参数x和ρ2，计算结果就是x? =x?ρ。然后在最后，我们知道x? =x?ρ，要求得x的时候，同样可以通过蒙哥马利算法本身计算，输入参数x? 和1，计算结果就是x。有没有一种因就是果，果就是因的感觉，这就是为什么说蒙哥马利算法是一套很完美的算法。
蒙哥马利幂模
最后，才说到我们最开始提到的RSA的核心幂模运算，先来看一下普通幂运算的算法是怎么得出来的。
以下资料来自于百度百科快速模幂运算
针对快速模幂运算这一课题，西方现代数学家提出了大量的解决方案，通常都是先将幂模运算转化为乘模运算。
例如求D=C^15%N
由于：a*b % n = (a % n)*(b % n) % n
所以令：
C1 =C*C % N =C^2 % N
C2 =C1*C % N =C^3 % N
C3 =C2*C2 % N =C^6 % N
C4 =C3*C % N =C^7 % N
C5 =C4*C4 % N =C^14 % N
C6 =C5*C % N =C^15 % N
即：对于E=15的幂模运算可分解为6 个乘模运算，归纳分析以上方法可以发现：
对于任意指数E，都可采用以下算法计算D=C**E % N：
D=1
WHILE E>0
IF E%2=0
C=C*C % N
E=E/2
ELSE
D=D*C % N
E=E-1
RETURN D
继续分析会发现，要知道E 何时能整除 2，并不需要反复进行减一或除二的操作，只需验证E 的二进制各位是0 还是1 就可以了，从左至右或从右至左验证都可以，从左至右会更简洁，
设E=Sum[i=0 to n](E*2**i)，0<=E<=1
则：
D=1
FOR i=n TO 0
D=D*D % N
IF E=1
D=D*C % N
RETURN D这样，模幂运算就转化成了一系列的模乘运算。
算法可以写成如下的形式
如果我们现在用蒙哥马利样式稍作改变，就可以变成如下的形式：
以上就是蒙哥马利算法的全部，通过蒙哥马利算法中的约减运算，我们将大数运算中的模运算变成了移位操作，极大地提高了大数模乘的效率。
但是在以上的算法，可以发现还有两个变量的计算方式不是很清楚，一个是ω，前面说过ω=?N?1(modN) ，其实在算法中，我们看到，omega仅仅被用来做modb操作，所以事实上，我们只需要计算modb即可。
尽管N有可能是合数（因为两个素数的乘积不一定是素数），但通常N和ρ（也就是N和b）是互质的，也就是说N?(b)=1(mob b)(费马定理)，N?(b)?1=N?1(mob b)
因为b=2ω，所以?(b)=2(ω?1)，写成算法是这样的
还有一个参数是ρ2，还记得前面说过ρ是怎么得出来吗，选定一个最小的k，使得bk>N，我们还知道N在b进制下是lN位，所以当k=lN的时候肯定是符合要求。
b=2ω 所以ρ=bk=(2ω)k
ρ2=(2w)k)2=22?k?ω=22?lN?ω，算法如下
至此整个蒙哥马利算法就全部说完了。通过这个算法，我们可以实现快速幂模。