【机器学习笔记之二】决策树的python实现

本文结构：

1. 是什么？
2. 有什么算法？
3. 数学原理？
4. 编码实现算法？

1. 是什么？

简单地理解，就是根据一些 feature 进行分类，每个节点提一个问题，通过判断，将数据分为几类，再继续提问。这些问题是根据已有数据学习出来的，再投入新数据的时候，就可以根据这棵树上的问题，将数据划分到合适的叶子上。

2. 有什么算法？

常用的几种决策树算法有ID3、C4.5、CART：

ID3：选择信息熵增益最大的feature作为node，实现对数据的归纳分类。
C4.5：是ID3的一个改进，比ID3准确率高且快，可以处理连续值和有缺失值的feature。
CART：使用基尼指数的划分准则，通过在每个步骤最大限度降低不纯洁度，CART能够处理孤立点以及能够对空缺值进行处理。

3. 数学原理？

ID3: Iterative Dichotomiser 3

参考

下面这个数据集，可以同时被上面两颗树表示，结果是一样的，而我们更倾向于选择简单的树。
那么怎样做才能使得学习到的树是最简单的呢？

下面是 ID3（ Iterative Dichotomiser 3 ）的算法：

例如下面数据集，哪个是最好的 Attribute？

用熵Entropy来衡量：
E(S) 是数据集S的熵
i 指每个结果，即 No，Yes的概率

E越大意味着信息越混乱，我们的目标是要让E最小。
E在0-1之间，如果P＋的概率在0.5， 此时E最大，这时候说明信息对我们没有明确的意义，对分类没有帮助。

但是我们不仅仅想要变量的E最小，还想要这棵树是 well organized。
所以用到 Gain：信息增益

意思是如果我后面要用这个变量的话，它的E会减少多少。

例如下面的数据集：

1. 先计算四个feature的熵E，及其分支的熵，然后用Gain的公式计算信息增益。

   

2. 再选择Gain最大的特征是 outlook。
3. 第一层选择出来后，各个分支再继续选择下一层，计算Gain最大的，例如分支 sunny 的下一层节点是 humidity。

   

详细的计算步骤可以参考这篇博文。

C4.5

参考

ID3有个局限是对于有大量数据的feature过于敏感，C4.5是它的一个改进，通过选择最大的信息增益率 gain ratio 来选择节点。而且它可以处理连续的和有缺失值的数据。

P’ (j/p) is the proportion of elements present at the position p, taking the value of j-th test.

例如 outlook 作为第一层节点后，它有 3 个分支，分别有 5，4，5 条数据，则 SplitInfo(5,4,5) = -5/14log(5,14)-4/14log(4,14)-5/14(5,14) ，其中 log(5,14) 即为 log2(5/14)。

下面是一个有连续值和缺失值的例子：

连续值

第一步计算 Gain，除了连续值的 humudity，其他步骤和前文一样。

要计算 humudity 的 Gain 的话，先把所有值升序排列：
{65, 70, 70, 70, 75, 78, 80, 80, 80, 85, 90, 90, 95, 96}
然后把重复的去掉：
{65, 70, 75, 78, 80, 85, 90, 95, 96}
如下图所示，按区间计算 Gain，然后选择最大的 Gain (S, Humidity) = 0.102

因为 Gain(S, Outlook) = 0 .246，所以root还是outlook：

缺失值

处理有缺失值的数据时候，用下图的公式：

例如 D12 是不知道的。

1. 计算全集和 outlook 的 info，

   

2. 其中几个分支的熵如下，再计算出 outlook 的 Gain：

   

比较一下 ID3 和 C4.5 的准确率和时间：

accuracy ：

execution time：

4. 编码实现算法？

代码可以看《机器学习实战》这本书和这篇博客。

完整代码可以在 github 上查看。

接下来以 C4.5 的代码为例：

1. 定义数据：

 1 def createDataSet():
 2     dataSet = [[0, 0, 0, 0, ‘N‘],
 3                [0, 0, 0, 1, ‘N‘],
 4                [1, 0, 0, 0, ‘Y‘],
 5                [2, 1, 0, 0, ‘Y‘],
 6                [2, 2, 1, 0, ‘Y‘],
 7                [2, 2, 1, 1, ‘N‘],
 8                [1, 2, 1, 1, ‘Y‘]]
 9     labels = [‘outlook‘, ‘temperature‘, ‘humidity‘, ‘windy‘]
10     return dataSet, labels

2. 计算熵：

 1 def calcShannonEnt(dataSet):
 2     numEntries = len(dataSet)
 3     labelCounts = {}
 4     for featVec in dataSet:
 5         currentLabel = featVec[-1]
 6         if currentLabel not in labelCounts.keys():
 7             labelCounts[currentLabel] = 0
 8         labelCounts[currentLabel] += 1      # 数每一类各多少个， {‘Y‘: 4, ‘N‘: 3}
 9     shannonEnt = 0.0
10     for key in labelCounts:
11         prob = float(labelCounts[key])/numEntries
12         shannonEnt -= prob * log(prob, 2)
13     return shannonEnt

3. 选择最大的gain ratio对应的feature：

 1 def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):
 2     numFeatures = len(dataSet[0]) - 1                 #feature个数
 3     baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet)             #整个dataset的熵
 4     bestInfoGainRatio = 0.0
 5     bestFeature = -1
 6     for i in range(numFeatures):
 7         featList = [example[i] for example in dataSet]  #每个feature的list
 8         uniqueVals = set(featList)                      #每个list的唯一值集合
 9         newEntropy = 0.0
10         splitInfo = 0.0
11         for value in uniqueVals:
12             subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value)  #每个唯一值对应的剩余feature的组成子集
13             prob = len(subDataSet)/float(len(dataSet))
14             newEntropy += prob * calcShannonEnt(subDataSet)
15             splitInfo += -prob * log(prob, 2)
16         infoGain = baseEntropy - newEntropy              #这个feature的infoGain
17         if (splitInfo == 0): # fix the overflow bug
18             continue
19         infoGainRatio = infoGain / splitInfo             #这个feature的infoGainRatio
20         if (infoGainRatio > bestInfoGainRatio):          #选择最大的gain ratio
21             bestInfoGainRatio = infoGainRatio
22             bestFeature = i                              #选择最大的gain ratio对应的feature
23     return bestFeature

4. 划分数据，为下一层计算准备:

1 def splitDataSet(dataSet, axis, value):
2     retDataSet = []
3     for featVec in dataSet:
4         if featVec[axis] == value:                      #只看当第i列的值＝value时的item
5             reduceFeatVec = featVec[:axis]              #featVec的第i列给除去
6             reduceFeatVec.extend(featVec[axis+1:])
7             retDataSet.append(reduceFeatVec)
8     return retDataSet

5. 多重字典构建树：

 1 def createTree(dataSet, labels):
 2     classList = [example[-1] for example in dataSet]         # [‘N‘, ‘N‘, ‘Y‘, ‘Y‘, ‘Y‘, ‘N‘, ‘Y‘]
 3     if classList.count(classList[0]) == len(classList):
 4         # classList所有元素都相等，即类别完全相同，停止划分
 5         return classList[0]                                  #splitDataSet(dataSet, 0, 0)此时全是N，返回N
 6     if len(dataSet[0]) == 1:                                 #[0, 0, 0, 0, ‘N‘]
 7         # 遍历完所有特征时返回出现次数最多的
 8         return majorityCnt(classList)
 9     bestFeat = chooseBestFeatureToSplit(dataSet)             #0－> 2
10         # 选择最大的gain ratio对应的feature
11     bestFeatLabel = labels[bestFeat]                         #outlook -> windy
12     myTree = {bestFeatLabel:{}}
13         #多重字典构建树{‘outlook‘: {0: ‘N‘
14     del(labels[bestFeat])                                    #[‘temperature‘, ‘humidity‘, ‘windy‘] -> [‘temperature‘, ‘humidity‘]
15     featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet]  #[0, 0, 1, 2, 2, 2, 1]
16     uniqueVals = set(featValues)
17     for value in uniqueVals:
18         subLabels = labels[:]                                #[‘temperature‘, ‘humidity‘, ‘windy‘]
19         myTree[bestFeatLabel][value] = createTree(splitDataSet(dataSet, bestFeat, value), subLabels)
20             # 划分数据，为下一层计算准备
21     return myTree

6. 可视化决策树的结果:

dataSet, labels = createDataSet()
labels_tmp = labels[:]
desicionTree = createTree(dataSet, labels_tmp)
treePlotter.createPlot(desicionTree)