51 NOD 1238 最小公倍数之和 V3

原题链接：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1238

最近被51NOD的数论题各种刷……（NOI快到了我在干什么啊！

然后发现这题在网上找不到题解……那么既然A了就来骗一波访问量吧……

（然而并不会用什么公式编辑器，凑合着看吧……

　Σ(1<=i<=n) Σ(1<=j<=n) i*j/gcd(i,j)

=Σ(1<=d<=n) d * Σ(1<=i<=[n/d]) Σ(1<=j<=[n/d]) i*j*[gcd(i,j)==1]

=Σ(1<=d<=n) d * Σ(1<=d‘<=[n/d]) f([n/d/d‘])*d‘^2*mui(d‘)

=Σ(1<=d‘<=n) d‘^2*mui(d‘) Σ(1<=d<=[n/d‘]) d*f([n/d/d‘])

这里f(x)=(x*(x+1)/2)^2，即1到x中数字之间两两乘积之和。

可以看出不同的[n/d‘]只有根号n个，对于某一个[n/d‘]，不同的[n/d/d‘]也只有根号n个，那么把它们压在一起处理就好了。

但是要做到这一点需要快速求出d‘^2*mui(d‘)的前缀和，这时就要用上杜教筛了。

记g(x)=x^2*mui(x)，S(x)=Σ(1<=i<=x) g(i)

那么Σ(1<=i<=n) Σ (x|i) g(x)*(n/x)^2=Σ(1<=i<=n) Σ(x|i) mui(x)=Σ(1<=i<=n) [i==1] = 1

同时Σ(1<=i<=n) Σ (x|i) g(x)*(n/x)^2=Σ(1<=i<=n) Σ(1<=x<=[n/i]) g(x)*i^2= Σ(1<=i<=n) i^2*S[n/i]

可以得到S(n)=1-Σ(2<=i<=n) i^2*S[n/i]，预处理+哈希维护一波就行了

但是不知道是我常数太大，还是方法没别人优越，卡了很久常数才卡过去。

代码自己码啦！

时间： 2024-10-14 11:20:03

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