BZOJ 1977 次小生成树（最近公共祖先）

题目链接：http://61.187.179.132/JudgeOnline/problem.php?id=1977

题意：求一棵树的严格次小生成树，即权值严格大于最小生成树且权值最小的生成树。

思路：若现在已经得到了最小生成树，那么若 添加一条边E，就会得到一个环，我们只需要去掉环上权值小于E且最大的一条边就会得到另一棵较优的生成树。因此，只需要枚举不在生成树上的边，计算将其添 加到最小生成树中得到的新生成树的权值。取最小值即可。那么，现在的问题就是在一个圈中找到一个最大的小于新添加的边的权值的边。由于最小生成树是一棵 树，可以利用最近公共祖先，并记录路径上权值的最大和次大值。则新加入的边若大于圈上其他边的最大值X，删掉X即可；否则掉圈上的次小值。

struct node
{
    int u,v,w,flag;
};

node a[N<<2];
vector<pair<int,int> > g[N];
int f[N][20],dp1[N][20],dp2[N][20];
int n,m;

int cmp(node a,node b)
{
    return a.w<b.w;
}

int p[N];

int get(int x)
{
    if(p[x]!=x) p[x]=get(p[x]);
    return p[x];
}

void add(int u,int v,int w)
{
    g[u].pb(MP(v,w));
    g[v].pb(MP(u,w));
}

int dep[N];

void DFS(int u,int pre)
{
    int i,v;
    FOR0(i,SZ(g[u]))
    {
        v=g[u][i].first;
        if(v==pre) continue;
        f[v][0]=u;
        dp1[v][0]=g[u][i].second;
        dp2[v][0]=-1;
        dep[v]=dep[u]+1;
        DFS(v,u);
    }
}

void up(int &x,int y)
{
    if(x==-1) x=y;
    else if(x<y) x=y;
}

void init()
{
    int i,j;
    for(i=1;(1<<i)<=n;i++)
    {
        for(j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++)
        {
            f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
            dp1[j][i]=max(dp1[j][i-1],dp1[f[j][i-1]][i-1]);
            dp2[j][i]=-1;
            if(dp1[j][i-1]<dp1[j][i]) up(dp2[j][i],dp1[j][i-1]);
            if(dp1[f[j][i-1]][i-1]<dp1[j][i]) up(dp2[j][i],dp1[f[j][i-1]][i-1]);
            if(dp2[j][i-1]!=-1) up(dp2[j][i],dp2[j][i-1]);
            if(dp2[f[j][i-1]][i-1]!=-1) up(dp2[j][i],dp2[f[j][i-1]][i-1]);
        }
    }
}

void up(int x,int &a,int &b)
{
    if(x>a) b=a,a=x;
    else if(x<a&&x>b) b=x;
}

int deal(int x,int a,int b)
{
    if(x==a)
    {
        if(b==-1) return -1;
        return x-b;
    }
    if(a==-1) return -1;
    return x-a;
}

i64 cal(int t)
{
    int u=a[t].u,v=a[t].v,w=a[t].w;
    int Max1=-1,Max2=-1;
    if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
    int x=dep[v]-dep[u];
    int i;
    for(i=0;i<20;i++) if(x&(1<<i))
    {
        up(dp1[v][i],Max1,Max2);
        up(dp2[v][i],Max1,Max2);
        v=f[v][i];
    }
    if(u==v) return deal(w,Max1,Max2);

    for(i=19;i>=0;i--)
    {
        if(f[u][i]&&f[v][i]&&f[u][i]!=f[v][i])
        {
            up(dp1[u][i],Max1,Max2);
            up(dp2[u][i],Max1,Max2);
            up(dp1[v][i],Max1,Max2);
            up(dp2[v][i],Max1,Max2);
            u=f[u][i];
            v=f[v][i];
        }
    }
    up(dp1[u][0],Max1,Max2);
    up(dp2[u][0],Max1,Max2);
    up(dp1[v][0],Max1,Max2);
    up(dp2[v][0],Max1,Max2);
    return deal(w,Max1,Max2);
}

int main()
{
    RD(n,m);
    int i;
    FOR1(i,m)
    {
        RD(a[i].u,a[i].v,a[i].w);
        a[i].flag=1;
    }
    sort(a+1,a+m+1,cmp);
    FOR1(i,n) p[i]=i;
    i64 ans=0;
    int u,v;
    FOR1(i,m)
    {
        u=get(a[i].u);
        v=get(a[i].v);
        if(u==v) continue;
        a[i].flag=0;
        ans+=a[i].w;
        add(a[i].u,a[i].v,a[i].w);
        p[u]=v;
    }
    DFS(1,-1);
    init();
    i64 k=inf,temp;
    FOR1(i,m) if(a[i].flag)
    {
        temp=cal(i);
        if(temp!=-1&&temp<k) k=temp;
    }
    PR(ans+k);
}

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