这两天在微信公众号“待字闺中”中看到一个经典的面试算法，寻找最长01字串，原题目是这么说的：
给定一个数组，数组中只包含0和1。请找到一个最长的子序列，其中0和1的数量是相同的。
例1：10101010 结果就是其本身。
例2：1101000 结果是110100
这个题目，看起来比较简单，一些同学可能认为题目的描述符合动态规划的特征，然后就开始用动态规划解，努力找状态转移方程。这些同学的感觉，是很正确的。但，找状态转移方程，我们要对原来的数组进行变换一下。
原来是0和1的串，我们将0都换为-1。这样题目目标就变成，找到一个最长的子串，子串数字和是0。设原数组为A, DP[i]表示从0开始到i的子数组和。DP遍历一遍数组即可。例1中的数组产生的DP为：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
这个例子，最后一个值是0，并且长度是偶数位。直接满足了结果。
再看例子2：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 0 | -1 |
5的位置为0，最长子串从0开始到5，长度为6。
上面这两个例子，所求的子串都是从头开始，如果不是从头开始，会是什么样的呢？看这个例子：1101100
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 |
通过观察上面的表格，我们可以得到，DP[0]==DP[6]==DP[2]，DP[1]==DP[3]. 根据DP的定义，如果DP[i]==DP[j]，i 一种方法，我们用map保存DP的值到位置的映射，如下表：
| DP值 | 位置 | 最大位置 | 最小位置 | 最大长度 |
| 1 | 0，2，6 | 6 | 0 | 6 |
| 2 | 1，3 | 3 | 1 | 2 |
| 3 | 4 | 4 | 4 | 0 |
| 最长子串长度 | 6 |
我们最终的算法，要综合考虑最常穿是否从头开始的。 上面的这个思路，时间复杂度是O(n),空间复杂度也是O(n).
还有其他的思路，例如DP保存的是[0,i]的1的个数，那么DP[j] - DP[i] * 2 == j - i则表明A[i+1]...A[j]是一个满足条件的串，找到j-i最大的，就是最终的结果，这个思路的时间复杂度为O(n^2),空间复杂度为O(n).
【分析完毕】
时间： 2024-08-02 07:02:39