[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 一个代数不等式)

[再寄小读者之数学篇](2014-07-09 多项式的辗转相除与线性变换) 设 $V$ 是由次数不超过 $4$ 的一切实系数一元多项式组成的向量空间. 对于 $V$ 上的任意多项式 $f(x)$, 以 $x^2-1$ 除 $f(x)$ 所得的商式及余式分别为 $q(x)$ 和 $r(x)$, 记 $$\bex f(x)=q(x)(x^2-1)+r(x). \eex$$ 设 $\scrA$ 是 $V$ 到 $V$ 的映射, 使得 $$\bex \scrA(f(x))=r(x). \eex$$ 试证

[再寄小读者之数学篇](2014-06-28 证明级数几乎处处收敛) 设 $f\in L(\bbR)$, 试证: $$\bex \vsm{n}f(n^2x) \eex$$ 在 $\bbR$ 上几乎处处收敛到一 Lebesgue 函数. [再寄小读者之数学篇](2014-06-27 向量公式: The Hall term) $$\bex \n\cdot{\bf b}=0\ra \n\times [(\n\times {\bf b})\times {\bf b}]=\n\times [\n\cdot

设非负严格增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 $p>0$ 存在唯一的 $x_p\in (a,b)$, 使 $$\bex f^p(x_p)=\cfrac{1}{b-a}\int_a^b f^p(t)\rd t. \eex$$ 试求 $\dps{\vlm{p}x_p}$. 解答: 由 H\"older 不等式, $$\beex \bea f^p(x_p)&=\cfrac{1}{b-a}\int_a^b f^p(t)\cdot 1\rd t\\

试证: $$\bex (1+a)\ln (1+a)+(1+b)\ln (1+b)<(1+a+b)\ln (1+a+b),\quad \forall\ a,b>0. \eex$$ 提示:  对函数 $f(x)=x\ln x$, 有 $$\bex f'(x)=\ln x+1,\quad f''(x)=\frac{1}{x}>0,\quad (x>0). \eex$$ 按照 [2014-07-16 凹函数与次线性性] 即得结论. [再寄小读者之数学篇](2014-07-16 与对数有关的

设 $f\in C^{n+1}(\bbR)$, 试证: 对 $\forall\ a\in\bbR$, $$\bex \frac{\rd^n}{\rd x^n}\sez{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a}=\frac{f^{(n+1)}(a)}{n+1}. \eex$$ 证明: 对 $n$ 用数学归纳法. 当 $n=1$ 时, $$\beex \bea \frac{\rd}{\rd x}\sez{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a} &=\lim_{x\t

Hilbert 零点定理: 设 $\bbF$ 是一个代数闭域, $L$ 是 $\bbF[x_1,\cdots,x_n]$ 的一个真理想, 则 $$\bex \exists\ (a_1,\cdots,a_n)\in\bbF^n\ra f(a_1,\cdots,a_n)=0,\quad\forall\ f\in L. \eex$$

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有连续的二阶导数且 $f(0)=f(1)=0$, 但 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不恒等于零. 证明: $$\bex |f(x)|\leq \cfrac{1}{4}\int_0^1 |f''(x)|\rd x,\quad \forall\ x\in [0,1]. \eex$$ [再寄小读者之数学篇](2014-06-14 [四川师范大学 2014 年数学分析考研试题] 积分不等式),布布扣,bubuko.com

$$\bex \supp \hat u\subset \sed{2^{j-2}\leq |\xi|\leq 2^j} \ra \cfrac{1}{C}2^{jk}\sen{f}_{L^p} \leq \sen{D^k f}_{L^p}\leq C2^{jk} \sen{f}_{L^p}; \eex$$ $$\bex \supp \hat u\subset \sed{|\xi|\leq 2^j} \ra \sen{f}_{L^q}\leq C2^{jn\sex{\frac{1}{p}-\frac{

(1) $$\bex \sen{D^k f}_{\dot B^s_{p,q}}\sim \sen{f}_{\dot B^{s+k}_{p,q}}. \eex$$ (2) $$\beex \bea &\quad s>0,\ q\in [1,\infty],\quad p_1,r_1\in [1,\infty],\ \cfrac{1}{p}=\cfrac{1}{p_1}+\cfrac{1}{p_2}=\cfrac{1}{r_1}+\cfrac{1}{r_2}\\ &\ra \sen{fg

$$\bex q>3\ra \sen{\n f}_{L^\infty} \leq C(q)\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2}\sex{e+\sen{\n f}_{W^{1,q}}+\sen{f}_{L^\infty}} }. \eex$$ $$\bex m\geq 3\ra \sen{\n f}_{L^\infty}\leq C\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2} \sex{1+\sen{\n f}_{H^