首先看这样一道题目:
a(n)=6*a(n-1)-a(n-2),a1=1,a2=5,求b(n)=a(n+1)/a(n)的极限
数列通项两边除以a(n-1)
得:
a(n)/a(n-1)=6-a(n-1)/a(n-2)
根据单调有界定理可以证明极限存在
单调性可以用数学归纳法证明,不再赘述
设极限为x
则x=6-1/x
x^2-6*x+1=0
解一元二次方程得
x=3+2√2
我举这个例子,是因为,这个例子和2017 ACM-ICPC 亚洲区(乌鲁木齐赛区)网络E题的数列很像,只不过在后面减了个2,是不影响极限大小的
当时,我们算出来的极限是这样子的:
这个与3+2√2是相同的
那么怎么根据这个无理数极限逆推数列递推公式呢?
形如:a(n)=x*a(n-1)+y*a(n-2)+z
其实可以用求根公式逆推出二元一次函数
然后再逆推出数列递推公式系数x和y,然后再带入数列求出常数项z
这样就可以根据a(n)/a(n-1)的无理数极限逆推二阶线性递推数列公式
所以为了使用这种方法,我们还要多背几个根号的值:
√2=1.414
√3=1.732
√5=2.236
√6=2.449
√7=2.646
√10=3.162
也不要背太多,题目不会太复杂的
当然也可能求出来是整数,那么就难以确定了
即使求出来是无理数,也可能是多阶的
时间: 2024-10-29 19:12:23