大整数算法[04] 位操作

上一篇文章介绍了大整数的比较操作，今天来谈谈和位相关的操作。

★ 引子

        在大整数的表示和相关定义这篇文章中讲到了大整数是如何表示的。为了方便后面的讲解，这里先按照前面的定义，给出一个大整数的例子（32位系统下，每一个数位长度为32比特）：

假设有一 bignum x，十进制值为 1134924633606254832，对应的十六进制值为 0xFC00FF0F0F0F0F0，那么按照大整数的表示方法， 2^32 进制就表示成（每一位用逗号隔开）：

（264245232，4042322160） 即：1134924633606254832 / (2^32) = 264245232, 1134924633606254832 mod (2^32) = 4042322160。

高位用二进制表示为：0000 1111 1100 0000 0000 1111 1111 0000

低位用二进制表示为：1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000

         ★ 返回指定下标 pos 的比特位

          这里的下标（pos）是从大整数的最低为开始，并且以 0 作为起始值，例如上述 bignum x 中下标为 3 的比特位为 0，下标为 4 的比特位为 1。

给定一个 pos 值，要找出对应的比特位在哪里，可以先找到 pos 对应的比特位到底在大整数的哪一个数位中。比如当 pos = 38 时，pos / biL = 38 / 32 = 1，

biL （bits in limbs）为数位的比特长度，32 位系统下 biL 为 32。这样就知道 pos 对应的比特位在大整数 x 的第二个数位中（对应于下标为 1 的数组单元中）。找到了大概位置，就要确定在数位中的具体位置了，这可以通过做求余运算得到：pos % biL = 38 mod 32 = 6，这样将该数位右移 6 位后与 1 做一次逻辑与操作，即可得到 pos 对应的比特值为 1 （对应红色标明的那一位）。（0000 1111 1100 0000 0000 1111 1111 0000，1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000）

boolean bn_get_bit(const bignum *x, const size_t pos)
{
    boolean bit;

    //pos is zero base number

    if(x->alloc * biL <= pos)
        return 0;

    bit = (x->dp[pos / biL] >> (pos & (biL - 1))) & 1;

    return bit;
}

在 2 的补码运算中，计算 a mod (2^n) 等价于 a AND (2^n - 1)。

         ★ 给定下标值 pos 设置对应位置的比特位

         和前面的原理一样，先找到 pos 对应的比特位的位置。假设 pos = 35，则 offset = pos / biL = 1， mod = pos / biL = 3。找到对应的位置后，要先把该位的值清空，具体的做法是：将 1 左移 mod = 3 位，然后取反，这时操作结果的二进制就会是 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0111，与大整数的第二个数位（对应数组下标为 1）进行与运算，便清空该位的值。然后将函数传入的 boolean 类型的 value 左移 mod = 3 位后与大整数的第二个数位做或运算即可把新的比特位设置好。

int bn_set_bit(bignum *x, const size_t pos, boolean value)
{
    int ret = 0;
    size_t offset, mod;

    //pos is zero base number

    if(value != TRUE && value != FALSE)
        return BN_INVALID_INPUT;

    offset = pos / biL;
    mod = pos & (biL - 1);

    if(pos >= x->alloc * biL)
    {
        if(value == FALSE) return 0; //如果pos超过了分配的数位并且value为0，则无需操作，因为高位默认为0，否则需要增加精度。
        BN_CHECK(bn_grow(x, offset + 1));
    }

    x->dp[offset] &= ~((bn_digit)1 << mod);
    x->dp[offset] |= ((bn_digit)(value) << mod);

    x->used = x->alloc;  //如果bignum的精度增加，则需要从最左边的数位开始往右检查有效数位，保证used值的正确。
    bn_clamp(x);  //压缩多余位

clean:

    return ret;
}

         ★ 返回有效比特位的数量

         有效比特位是指从左起第一个不为 0 的比特位开始到最右比特位为止的中间所有比特位。例如本文给出的例子，除最高位的前四个比特位之外，其他都是有效的比特位，有效比特位的数量是 60。按照前面所说的，可以很容易得到下面的算法：

size_t bn_msb(const bignum *x)
{
    size_t i, j;

    i = x->used - 1;

    for(j = biL; j > 0; j--)
        if(((x->dp[i] >> (j - 1)) & 1) != 0)
            break;

    return biL * i + j;
}

这个算法的意义在于可以计算出一个 bignum 的实际比特大小，虽然简单，但在后面很多算法中会多次用到。

         ★ 返回最低有效比特位前 0 的数量

          最低有效比特位是指从右起第一个不为 0 的比特位，本例中 bignum x 的最低有效比特位就是位于低数位中从右起下标为 4 的比特位。前面 0 的数量为 4。于是可以很容易写出如下算法：

size_t bn_lsb(const bignum *x)
{
    size_t i, j;

    for(i = 0; i < x->used; i++)
    {
        if(x->dp[i] != 0)
        {
            for(j = 0; j < biL; j++)
            {
                if(((x->dp[i] >> j) & 1) != 0)
                    return i * biL + j;
            }
        }
    }

    return 0;
}

对于一个整数 p（p > 0）， 都可以通过如下的形式表示：p = q * 2^r，其中 q 是一个奇数，例如 36 = 9 * 2^2， r = 2。bn_lsb 算法的意义在于可以通过计算最低有效比特位前 0 的数量来计算 r 的值。这个算法虽然也很简单，但它会在后面计算最大公约数的算法中大显身手。

         ★ 返回 bignum 的字节大小

         这里要注意的是：这个操作不是返回 bignum 占用了多少内存，例如对于 bignum x，即使一开始分配了 3 个单元的内存，其字节大小仍然是 8 byte。计算 bignum 的字节大小，只需要将 x 的比特大小加上 7 除以 8 即可。加上 7 的目的是避免 x 的比特位不是 8 的倍数时除完之后少了一个字节。

size_t bn_size(const bignum *x)
{
    return ((bn_msb(x) + 7) >> 3);
}

         ★ 总结

         大整数位的相关操作原理不难，但是如果一开始没有定义好 bignum 的结构，比如使用十进制，那么操作起来就是相当麻烦，这再一次说明编程时二进制思维是很重要嘀。下一篇文章会介绍大整数的移位操作。