【BZOJ1951】[中国剩余定理][SDOI2010]古代猪文

求g的p次方%mod，

根据费马小定理，g^sigma(C(n,d))(d|n)%mod=g^(sigma(C(n,d))(d|n)%(mod-1))%mod,

然而mod-1不是质数，只能用把它拆成4个质因数，然后对4个模方程分别求解，先用lucas定理和费马小定里求出对4个质数取模的sigma的值(num[i])，注意，枚举因数d的时候枚举到sqrt(n)就可以了，同时加上C(N,I)和C（n，n/i），

最后根据中国剩余定理合并:用拓展欧几里德求出每一个方程对 ax 解，然后把他们的值*num[i]加起来最后在模yige (mod-1)，就得到了(sigma(C(n,d))(d|n)%(mod-1))%mod的答案了，最后用快速幂求出本题最后的答案.

#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long
#define mod 999911659

ll prime[5]={0,2,3,4679,35617};
ll num[5],inver[5];

void exgcd(ll x,ll y,ll &a,ll &b)
{
    if(!y)
        a=1,b=0;
    else
    {
        exgcd(y,x%y,b,a);
        b-=a*(x/y);
    }
}

ll pow(ll a,ll b,ll p)
{
    ll ans=1,cnt=a;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=(ans*cnt)%p;
        cnt=(cnt*cnt)%p;
        b=b>>1;
    }
    return ans;
}

ll C(ll m,ll n,ll p)
{
    if(m<n)
        return 0;
    if(m==n)
        return 1;
    if(n>m-n)
        n=m-n;
    ll ans=1,cm=1,cn=1;
    for(ll i=0;i<n;i++)
        cm=cm*(m-i)%p,cn=cn*(n-i)%p;
    return cm*pow(cn,p-2,p)%p;
}

ll lucas(ll m,ll n,ll p)
{
    if(!n)
        return 1;
    return (lucas(m/p,n/p,p)*C(m%p,n%p,p))%p;
}

ll get(ll n)
{
    ll lim=sqrt(n)+1;
    for(int i=1;i<lim;i++)
    if(n%i==0)
    {
        for(int j=1;j<=4;j++)
            num[j]=(num[j]+lucas(n,i,prime[j]))%prime[j];
        if(i*i<n)
            for(int j=1;j<=4;j++)
                num[j]=(num[j]+lucas(n,n/i,prime[j]))%prime[j];
    }
    ll mul=1,ans=0,t;
    for(int i=1;i<=4;i++)
        mul*=prime[i];
    for(int i=1;i<=4;i++)
    {
        exgcd(mul/prime[i],prime[i],inver[i],t); //因为这里的 mul/prime[i],和prime[i]是互质的，所以gcd=1，不用考虑*c/d
        inver[i]*=mul/prime[i];
    }
    for(int i=1;i<=4;i++)
        ans=(ans+num[i]*inver[i])%(mod-1);
    return(ans+mod-1)%(mod-1);
}

int main()
{
    ll n,g,ans;
    scanf("%lld%lld",&n,&g);
    if(mod==g)
    {
        printf("0");
        return 0;
    }
    g=g%mod;
    ans=pow(g,get(n),mod);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

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