数据集划分——信息熵

　　上一节我们学习knn，kNN的最大缺点就是无法给出数据的内在含义，而使用决策树处理分类问题，优势就在于数据形式非常容易理解。

　　决策树的算法有很多，有CART、ID3和C4.5等，其中ID3和C4.5都是基于信息熵的，也是我们今天的学习内容。

1. 信息熵

　　熵最初被用在热力学方面的，由热力学第二定律，熵是用来对一个系统可以达到的状态数的一个度量，能达到的状态数越多熵越大。香农1948年的一篇论文《A Mathematical Theory of Communication》提出了信息熵的概念，此后信息论也被作为一门单独的学科。

　　信息熵是用来衡量一个随机变量出现的期望值，一个变量的信息熵越大，那么他出现的各种情况也就越多。信息熵越小，说明信息量越小。

　　对于信息的定义，可以这样理解，如果待分类的事务划分在多个分类之中，则符号x_i的信息定义为

　　　　I(x_i) = -log₂p(x_i)   其中p(x_i) 是选择该分类的概率

　　为了计算熵，我们需要计算所有类别所有可能值包含的信息期望值，通过下面的公式可得：

　　　　 ，其中n是分类的数目

2. 计算信息熵

　　这里有个小例子，通过2个特征：有无喉结，有无长胡子，来划分男人和女人

　　使用python实现简单计算信息熵，程序如下：

from math import log

#创建简单数据集
def creatDataset():
    dataSet = [[1,1,‘yes‘],[1,1,‘yes‘],[1,0,‘no‘],[0,1,‘no‘],[0,1,‘no‘]]
    labels = [‘no surfacing‘,‘flippers‘]
    return dataSet,labels

#计算信息熵
def calcShannonEnt(dataSet):
    numEntries = len(dataSet)
    labelCounts = {}
    for vec in dataSet:
        currentLabel = vec[-1]
        if currentLabel not in labelCounts.keys():  #为所有可能的分类建立字典
            labelCounts[currentLabel] = 0
        labelCounts[currentLabel] += 1
    shannonEnt = 0.0
    for key in labelCounts:
        prob = float(labelCounts[key])/numEntries
        shannonEnt -= prob * log(prob,2)
    return shannonEnt 

#简单测试
myDat,labels = creatDataset()
print myDat
print calcShannonEnt(myDat)

　　测试结果如下：

[[1, 1, ‘yes‘], [1, 1, ‘yes‘], [1, 0, ‘no‘], [0, 1, ‘no‘], [0, 1, ‘no‘]]
0.970950594455

　　得到熵之后，我们就可以按照获取最大信息熵的方法来划分数据集。

数据集划分——信息熵