【BZOJ 2326】 [HNOI2011]数学作业

2326: [HNOI2011]数学作业

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Description

矩阵乘法。

可以用类似于秦九韶算法，把被取模的数拆开。

如123%m=(((1%m)*10+2)%m*10+3)%m

我们发现对于位数相同的数的计算方法是一样的，想到矩阵乘法。

对于1位的数：

matrix x=10^1  0  0

1       1  0

0       1  1

求1-k的值：[0 1 1]*(x^k)=[a b c] 则a就是答案

对于2位数，只要把10^1换成10^2即可，以此类推。

这个矩阵什么意思呢？

[a b c]中，a是所求，b是当前的数是几（每次都加1）,c恒为1（帮助b加1的）

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
LL n,mod,a[5],l[5];
struct matrix
{
	LL f[5][5];
};
matrix Mult(matrix a,matrix b)
{
	matrix ans;
	for (int i=0;i<3;i++)
		for (int j=0;j<3;j++)
			ans.f[i][j]=0LL;
	for (int i=0;i<3;i++)
		for (int j=0;j<3;j++)
			for (int k=0;k<3;k++)
				ans.f[i][j]=(ans.f[i][j]+a.f[i][k]*b.f[k][j]%mod)%mod;
	return ans;
}
matrix Pow_mult(LL x,LL n)
{
	matrix base,ans;
	int f=0;
	base.f[0][0]=x%mod,base.f[0][1]=base.f[0][2]=base.f[2][0]=base.f[1][2]=0;
	base.f[1][1]=base.f[1][0]=base.f[2][1]=base.f[2][2]=1;
	while (n)
	{
		if (n&1)
		{
			if (!f)
				ans=base,f=1;
			else ans=Mult(ans,base);
		}
		base=Mult(base,base);
		n>>=1LL;
	}
	return ans;
}
int main()
{
        scanf("%lld%lld",&n,&mod);
	LL b=10LL,now=1LL;
	a[0]=0,a[1]=1,a[2]=1;
	while (1)
	{
		LL la=min(n,now*10LL-1LL);
		matrix x=Pow_mult(b,la-now+1);
		for (int i=0;i<3;i++)
		{
			l[i]=0LL;
			for (int j=0;j<3;j++)
				l[i]=(l[i]+a[j]*x.f[j][i]%mod)%mod;
		}
		for (int i=0;i<3;i++)
			a[i]=l[i];
		if (n<b) break;
		b*=10LL;
		now=b/10LL;
	}
	printf("%lld\n",a[0]);
	return 0;
}