[BZOJ 2440] [中山市选2011] 完全平方数 【二分 + 莫比乌斯函数】

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题目分析

首先，通过打表之类的方法可以知道，答案不会超过 2 * k 。

那么我们使用二分，对于一个二分的值 x ，求出 [1, x] 之间的可以送出的数有多少个。

怎么来求呢？我们使用容斥原理。

先求出不能送的数（即含有平方因子的数）有多少个，然后用总数减去就可以了。

那么，就是 含有一个质数平方因子的数(2^2的倍数 + 3^2的倍数 + 5^2的倍数....) - 含有两个质数平方因子的数((2 * 3)^2的倍数 + (2 * 5)^2的倍数 + ...)

这样，奇加偶减，就可以求出含有平方因子的数有多少了。

这样直接容斥来求复杂度很高，我们正好有一种莫比乌斯函数，可以直接算出这个值。

mou(x) = {

1 (x = 1)

(-1)^k  (x = p1 * p2 * ... * pk)

0 (x % pi^2 = 0)

}

这样我们可以发现，一个 x 的莫比乌斯函数值和 x^2 在容斥中的系数是相同的。

那么，Ans = sigma(Mou[i] * x / (i*i))    (1 <= i <= Sqrt(x))

莫比乌斯函数可以用线性筛法求出。

代码

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int MaxN = 100000 + 5;

int T, n, k, Top;
int Mou[MaxN], Prime[MaxN];

bool isPrime[MaxN];

void Prepare()
{
	n = 100000;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) isPrime[i] = true;
	isPrime[1] = false; Mou[1] = 1;
	Top = 0;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		if (isPrime[i])
		{
			Prime[++Top] = i;
			Mou[i] = -1;
		}
		for (int j = 1; j <= Top && i * Prime[j] <= n; ++j)
		{
			isPrime[i * Prime[j]] = false;
			if (i % Prime[j] == 0)
			{
				Mou[i * Prime[j]] = 0;
				break;
			}
			Mou[i * Prime[j]] = -Mou[i];
		}
	}
}

int Calc(int x)
{
	int ret = 0, SqrtX;
	SqrtX = (int)sqrt((double)x);
	for (int i = 1; i <= SqrtX; ++i)
		ret += Mou[i] * x / i / i;
	return ret;
}

int main()
{
	scanf("%d", &T);
	Prepare();
	for (int Case = 1; Case <= T; ++Case)
	{
		scanf("%d", &k);
		LL l = 1, r = k << 1, mid, Ans;
		while (l <= r)
		{
			mid = (l + r) >> 1;
			if (Calc((int)mid) >= k)
			{
				Ans = mid;
				r = mid - 1;
			}
			else l = mid + 1;
		}
		printf("%d\n", (int)Ans);
	}
	return 0;
}