一般求概率的题目都是正着求，和求期望相反。但裸的求概率一般不多，很多都需要加以优化。最常见的有矩阵优化，记忆化搜索等，遇到有环的存在时需要用到高斯消元。
矩阵优化 POJ 3744
题目链接：http://poj.org/problem?id=3744
题意：在一条不满地雷的路上，你现在的起点在1处。在N个点处布有地雷，1<=N<=10。地雷点的坐标范围：[1,100000000].每次前进p的概率前进一步，1-p的概率前进两步。问顺利通过这条路的概率。
很裸的状态转移，并用矩阵乘法分段优化，里面也存在环，但由于转移方程里面每一项都和dp[0]也就是答案有关，可以直接手动推最终公式。
设dp[i]表示到达i点的概率，则初始值dp[1]=1.
很容易想到转移方程：dp[i]=p*dp[i-1]+(1-p)*dp[i-2];
但是由于坐标的范围很大，直接这样求是不行的，而且当中的某些点还存在地雷。
N个有地雷的点的坐标为 x[1],x[2],x[3]```````x[N].
我们把道路分成N段：
1~x[1]，x[1]+1~x[2]、、、x[N-1]+1~x[N].
这样每一段只有一个地雷。我们只要求得通过每一段的概率。乘法原理相乘就是答案。
对于每一段，通过该段的概率等于1-踩到该段终点的地雷的概率。
就比如第一段 1~x[1]. 通过该段其实就相当于是到达x[1]+1点。那么p[x[1]+1]=1-p[x[1]].
但是这个前提是p[1]=1,即起点的概率等于1.对于后面的段我们也是一样的假设，这样就乘起来就是答案了。
对于每一段的概率的求法可以通过矩阵乘法快速求出来。
1 //#include<bits/stdc++.h>
2 #include<stdio.h>
3 #include<algorithm>
4 using namespace std;
5 const int maxn=2;
6 struct node
7 {
8 double f[maxn][maxn];
9 };
10 int num[15];
11 node solve(node a,node b)
12 {
13 node ans;
14 for(int i=0;i<maxn;i++)
15 for(int j=0;j<maxn;j++)
16 {
17 ans.f[i][j]=0.0;
18 for(int k=0;k<maxn;k++)
19 ans.f[i][j]+=a.f[i][k]*b.f[k][j];
20 }
21 return ans;
22 }
23 node power(node x,int y)
24 {
25 node ans={1,0,0,0};
26 while(y)
27 {
28 if(y&1)
29 ans=solve(ans,x);
30 x=solve(x,x);
31 y/=2;
32 }
33 return ans;
34 }
35 int main()
36 {
37 int n;
38 double p;
39 while(~scanf("%d%lf",&n,&p))
40 {
41 for(int i=1;i<=n;i++)
42 scanf("%d",&num[i]);
43 sort(num+1,num+1+n);
44 if(num[1]==1)
45 {
46 printf("0.0000000\n");
47 continue;
48 }
49 node x{p,1,1.0-p,0};
50 double ans=1.0;
51 for(int i=1;i<=n;i++)
52 {
53 if(num[i]==num[i-1]) continue;
54 node f=power(x,num[i]-num[i-1]-1);
55 ans*=1.0-f.f[0][0];
56 }
57 printf("%.7f\n",ans);
58 }
59 return 0;
60 }
记忆化搜索 CF 148D
题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/148/D
袋子里有w只白鼠和b只黑鼠
龙和公主轮流从袋子里抓老鼠。谁先抓到白色老师谁就赢。
公主每次抓一只老鼠，龙每次抓完一只老鼠之后会有一只老鼠跑出来。
每次抓老鼠和跑出来的老鼠都是随机的。
如果两个人都没有抓到白色老鼠则龙赢。公主先抓。
问公主赢的概率。
存在用dfs搜索和for循环查询的方法，但for循环推公式比较麻烦，建议使用dfs
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 const int maxn=1005;
4 double dp[maxn][maxn]; //用dp记录每种状态公主获胜的概率
5 int vis[maxn][maxn];
6 double dfs(int x,int y)
7 {
8 if(x<=0) return 0;
9 if(y<=0) return 1;
10 if(vis[x][y]) return dp[x][y]; //避免重复的求概率，不然会超时
11 vis[x][y]=1;
12 double ans=1.0*x/(x+y); //公主直接摸到白球
13 if(y>=2) //若黑球小于两个，但前面保证有黑球，所以黑球被公主摸走，龙摸到白球，赢的概率为0
14 {
15 double k=1.0*y/(x+y); //公主摸一个黑球
16 y--;
17 k*=1.0*y/(x+y); //龙摸一个黑球
18 y--;
19 dp[x-1][y]=dfs(x-1,y); //白球少一个的情况
20 dp[x][y-1]=dfs(x,y-1); //黑球少一个的情况
21 ans+=k*(1.0*x/(x+y)*dp[x-1][y]+1.0*y/(x+y)*dp[x][y-1]);
22 }
23 return ans;
24 }
25 int main()
26 {
27 int a,b;
28 scanf("%d%d",&a,&b);
29 printf("%.9f\n",dfs(a,b));
30 return 0;
31 }
二进制技巧 POJ 3071
题目链接：http://poj.org/problem?id=3071
2^n个队进行足球赛，每个队打败另外一个队都有一个概率。
问最后胜利的概率最大的是哪只球队。
注意：每个队只能和他旁边的队比赛，（1，2）（3，4）......
1 #include<stdio.h>
2 #include<algorithm>
3 using namespace std;
4 const int maxn=7;
5 const int maxm=(1<<maxn)+5;
6 double p[maxm][maxm],dp[maxn][maxm]; //dp[i][j]表示第i场比赛第j队获胜的概率
7 int main()
8 {
9 int n;
10 while(scanf("%d",&n),n!=-1)
11 {
12 int m=(1<<n);
13 //注意给队伍的编号是0~m-1,接下来会省事一点
14 for(int i=0; i<m; i++)
15 for(int j=0; j<m; j++)
16 scanf("%lf",&p[i][j]);
17 for(int i=0; i<m; i++)
18 dp[0][i]=1.0; //初始化还没开始比赛时每只队伍出线的概率都为1
19 for(int i=1; i<=n; i++)
20 for(int j=0; j<m; j++)
21 {
22 dp[i][j]=0;
23 int f=j/(1<<(i-1));
24 f^=1;
25 for(int k=f*(1<<(i-1)); k<(f+1)*(1<<(i-1)); k++)
26 dp[i][j]+=dp[i-1][k]*dp[i-1][j]*p[j][k];
27 }
28 int ans=0;
29 double sum=dp[n][0];
30 for(int i=1; i<m; i++)
31 if(dp[n][i]>sum)
32 {
33 sum=dp[n][i];
34 ans=i;
35 }
36 printf("%d\n",ans+1);
37 }
38 return 0;
39 }